数值分析

华中科技大学数值分析姓名祝于高学号T201389927班级研究生院（717所）2014年4月25日实验4.1实验目的：复化求积公式计算定积分试验题目：数值计算下列各式右端定积分的近似值。（1）3221ln2ln321dxx；（2）120141dxx；（3）1023ln3xdx；（4）221xexedx；实验要求：（1）若用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-LegendreI型公式做计算，要求绝对误差限为71102，分别利用他们的余项对每种算法做出步长的事前估计。（2）分别用复化梯形公式、复化Simpson公式和复化Gauss-LegendreI型公式做计算。（3）将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。实验内容：1.公式介绍（1）复化梯形公式：110(x)(x)2nnkkkhTff=11(a)2(x)(b)2nkkhfff；余项：2''(f)()12nbaRhf；（2）复化Simpson公式：11210(x)4(x)(x)6nnkkkkhSfff=111201(a)4(x)2(x)(b)6nnkkkkhffff；余项：4(4)(f)()()1802nbahRf；（3）复化Gauss-LegendreI型公式：112120(x)(x)(x)22323nbkkakhhhfdxff；余项:4)4(4320)())(hfbafRn（；该余项是这样分析的：由Gauss求积公式)()()(0kbankkxfAdxxfx得：余项dxxxnfxfAdxxfxfbannbankkk)()()!22()()()()()(R12)22(0G由于复化G-L求积公式在每个子区间],[1kkxx上用2点G-L求积公式：)]3122()3122([2)(111111kkkkkkkkxxkkxxxxfxxxxfxxdxxfkk其余项为：dxxxxxffRkkxxG2120)4()()(!4)()(1，其中khaxk，hkaxk)1(1。可得)(4320)()4(5kGfhfR，则：4)4(10)4(5104320)()()(4320)()(hfbafhfRfRknknkGn2.步长估计利用公式71021)(fRn,令)(xfn在区间上取最大，通过matlab编程求得h的估计值。3.编程计算结果（1）计算结果及误差：分别对4题作复化Trapezoid、Simpson、Gauss_Legendre计算，并计算计算值与精确值之间的误差，结果如下表：（1）3221ln2ln321dxx计算结果表数据类型求积类型（1）3221ln2ln321dxx步长(h)计算值绝对误差真实值复化Trapezoid公式5.58035e-004-0.4054651263094311.82013e-008-0.405465108108164复化Simpson公式4.76190e-002-0.4054651180463339.93817e-009Gauss_LegendreI公式5.26316e-002-0.4054650982251254.88304e-009（2）120141dxx计算结果表数据类型求积类型（2）120141dxx步长（h)计算值绝对误差真实值复化Trapezoid公式2.73823e-0043.1415926410933281.24965e-0083.141592653589793复化Simpson公式3.44828e-0023.1415926535887501.04317e-012Gauss_LegendreI公式3.84615e-0023.1415926535912201.42686e-012（3）1023ln3xdx计算结果表数据类型求积类型（3）1023ln3xdx步长（h)计算值绝对误差真实值复化Trapezoid公式4.07000e-0041.8204784835844083.03307e-0081.820478453253675复化Simpson公式7.14286e-0021.8204784772187692.39651e-008Gauss_LegendreI公式8.33333e-0021.8204784236572622.95964e-008（4）221xexedx计算结果表数据类型求积类型（4）221xexedx步长(h)计算值绝对误差真实值复化Trapezoid公式1.42470e-0047.3890561272302212.82996e-0087.389056098930650复化Simpson公式4.16667e-0027.3890561262147082.72841e-008Gauss_LegendreI公式4.54545e-0027.3890560731695912.57611e-008由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在绝对误差限71102内，精度满足要求。由各种算法的步长可知，在相同精度的情况下复化梯形公式的步长最小，比其它两个方法要小两个数量级（为-410），计算量最大，精度也是最低的；复化Simpson公式和复化Gauss_LegendreI公式，它们的步长基本上相差无几（在同一个数量级-210），但是Gauss_LegendreI公式步长更大计算量更小，精度更却更高,。4.附Matlab程序clearall;x=input('请输入函数:\n','s');a=input('请输入积分下限:\n');b=input('请输入积分上限:\n');m=input('复化梯形输T，复化Simpson输S，复化G-L输G：\n','s');if(m=='T')n=2;elsen=4;endf=inline(sym(x));y=diff(sym(x),n);g=inline(y);p=abs(g(a));forn=1:1000h=(b-a)/1000;ifpabs(g(a+h*n))p=abs(g(a+h*n));continueelsecontinueendbreakend;if(m=='T')h=sqrt(0.6/p)/1000elseif(m=='S')h=((1.44/p)^(1/4))/10elseh=(2.16/p)^(1/4)/100endn=ceil((b-a)/h)h=(b-a)/nif(m=='T')i=2:n;c=f(a+(i-1)*h);s=h*(f(a)+f(b)+2*sum(c))/2elseif(m=='S')i=2:n;c1=f(a+(i-1/2)*h);c2=f(a+(i-1)*h);s=(f(a)+f(b)+4*f(a+h/2)+4*sum(c1)+2*sum(c2))*h/6elsei=1:n;t=h/2/sqrt(3);c=f(a+(i-1/2)*h-t)+f(a+(i-1/2)*h+t);s=h*sum(c)/2end实验4.2实验目的：比较复化Simpson方法与变步长（区间逐次分半求积法）Simpson方法。试验题目：计算下列定积分。（1）2220()10xxxdx；（2）10xxdx；（3）20051dxx；实验要求：（1）分别用复化Simpson公式与变步长Simpson公式计算，要求绝对误差限为7-1021，输出每种方法所需的节点数和积分近似值。（2）分析比较计算结果。实验内容：1.公式介绍（1）复化Simpson公式：将区间[a,b]分n等份，在每个子区间],[1kkxx上采用Simpson式，若记hxxkk212/1，则得：11210(x)4(x)(x)6nnkkkkhSfff=111201(a)4(x)2(x)(b)6nnkkkkhffff；余项：4(4)(f)()()1802nbahRf；（2）区间逐次分半求积法：依据“事后误差法”，将区间逐次分半进行计算，并利用前后两次计算结果来判断误差的大小。在逐次二分进行计算时，可以用2nT与nT来估计误差，这种直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法，若2||'nnTT（为计算结果允许的误差），则停止计算，并取2nT作为积分的近似值；否则将区间再次二分后算出4nT，并检验不等式2|'nnTT是否满足。由于是区间分半，因此区间等分数必定是2的n次方。对于Simpson公式，若)()4(xf在区间[a,b]上连续且变化不大，则有：)(141)(15122222nnnnnnSSSSSSI将)(1-4122nnSS与做比较。3.编程思路对于复化Simpson公式，在matlab编程中，没有采用事先步长估计，目的是为了求出达到精度要求所需要的最小节点数。这样能够更好的比较复化Simpson公式与变步长Simpson公式之间的差别。其中n是从5开始的，不同的初始值变步长Simpson公式计算的结果会不一样。流程图：3.编程计算结果（1）计算结果及误差：分别对3题作复化Simpson和变步长Simpson公式计算，并计算绝对误差限，结果如下表：（1）6220()10xxxdx计算结果表数据类型求积类型（1）2220()10xxxdx节点数（n）计算值绝对误差真实值复化Simpson公式581.1619048090311004.71263e-0081.161904761904762变步长Simpson公式801.1619047749252331.30205e-008开始输入f(x)选择题号复化函数公式输出结果结束（2）dxxx10计算结果表数据类型求积类型（2）10xxdx节点（n)计算值绝对误差真实值复化Simpson公式760.4000000494092044.94092e-0080.40000000000000变步长Simpson公式800.4000000434629714.34630e-008（3）20051dxx计算结果表数据类型求积类型（3）20051dxx步长（h)计算值绝对误差真实值复化Simpson公式51023.8121353421083774.96461e-00823.812135292462322变步长Simpson公式64023.8121353125013862.00391e-008由上表中的误差分析可知，利用题目所要求的复化求积公式运算的结果均在绝对误差限71102内，精度满足要求。由比较结果可知，当初始值n不大时，用变步长Simpson法可以得到较好的得到精度。同时该方法求出的节点数与复化Simpson法最低要求的节点数相差不大。5.附Matlab程序clearall;x=input('请输入函数:\n','s');a=input('请输入积分下限:\n');b=input('请输入积分上限:\n');m1=input('第几个函数？（数字）:\n');m2=input('复化Simpson输F，变步Simpson输B:\n','s');f=inline(sym(x));if(m1==1)k=8*16/70-8/3+2;elseif(m1==2)k=0.4;elsek=2*(sqrt(200)-sqrt(5));endn=5;p=0;e=1;if(m2=='F')whilee1/2*10^-7n=n+1;h=(b-a)/n;i=2:n;c1=f(a+(i-1/2)*h);c2=f(a+(i-1)*h);s=(f(a)+4*f(a+h/2)+4*sum(c1)+2*sum(c2)+f(b))*h/6;e=abs(s-k);en