应用随机过程第6章股票价格行为模式分析上

第6章股票价格行为模式分析（上）布朗运动鞅随机积分及其在金融中的应用2016-2017学年第2学期统计与信息学院张建新12›用什么方式述股票价格变化过程？用语言举例说明？图形？表格？变量？随机变量？随机过程！——直观，但流于形式，不够深刻。——有进步，但缺乏动感，不能反映股价随时间变化而变化的现象。——好，很好。具体什么随机过程能够比较准确地描写股价变化行为？提要1股票价格行为特征、市场假设2股票价格行为模式3收益率变化模型4相关随机过程Markov过程、Brown运动、鞅、Ito过程5相关随机分析随机微积分、Ito积分、Ito定理、随机微分方程6随机分析的其他应用31股票价格行为特征、市场假设（1）›股票价格特征–股票价格具有某种无记忆性，即要预测股票未来的价格只需知道现在价格即可，不需要知道股票的历史价格。——马尔科夫链–股票价格的下一期增量与当前的股价有关。例如考虑$10股价与$100股价的两支股票，其下一期的涨幅显然是不一样的。当前股价越高，以金钱为单位的涨跌越大。–股价的预期增量假设来自同一分布，则其相互独立。41股票价格行为特征、市场假设（2）›弱式效率市场假说与马尔科夫过程›a)效率市场假说–1965年，法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说。该假说认为：–投资者都力图利用可获得的信息获得更高的报酬；–证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息；–市场竞争使证券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平，而与新信息相应的价格变动是相互独立的。51股票价格行为特征、市场假设（3）›弱式效率市场假说与马尔科夫过程›b)效率市场分类–效率市场假说可分为三类：弱式、半强式和强式。–弱式效率市场假说认为，证券价格变动的历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息，也就是说不能通过技术分析获得超过平均收益率的收益。–半强式效率市场假说认为，证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的证券。61股票价格行为特征、市场假设（4）›弱式效率市场假说与马尔科夫过程–b)效率市场分类›强式效率市场假说认为，不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都已反映在股价中，因此任何信息(包括“内幕信息”)对挑选证券都没有用处。–效率市场假说提出后，许多学者运用各种数据进行了实证分析。发现，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。–弱式效率市场假说可用马尔可夫随机过程(MarkovStochasticProcess)来表述。71股票价格行为特征、市场假设（5）›股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致：›一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。›如果弱型市场有效性正确的话，技术分析师可通过分析股价的过去历史数据图表获得高于平均收益率的收益是不可能的。›是市场竞争保证了弱型市场有效性成立。82股票价格行为模式（1）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›其中S=S(t)代表t时刻股票价格›B=B(t)是标准Brown运动，也称Wiener过程。›变量μ为股票在单位时间内以连续复利表示的股票价格的预期收益率(expectedrateofreturn)。›变量σ通常被称为股票价格波动率(stockpricevolatility)。即是股票收益率单位时间的标准差。σ2表示股票收益率单位时间的方差。›μ和σ为常数。92股票价格行为模式（2）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›其中S=S(t)代表t时刻股票价格›B=B(t)是标准Brown运动，也称Wiener过程。›表达式“dS=μSdt+σSdB”表示股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。›应用Ito定理，可以对上述股票价格过程进行变形，得到显示表达：1021()exp{()()}2SttBt2股票价格行为模式（3）›无红利支付股票价格遵循的随机过程dS=μSdt+σSdB›股价S(t)可以由瞬态期望漂移率(instantaneousexpecteddriftrate)为μS和瞬态方差率为σ2S2的Ito过程（几何布朗运动）表达。1121()exp{()()}2SttBt•股票价格服从对数正态分布，即取对数之后为正态分布21ln~[ln()(),]2TtSNSuTtTt12133收益率变化模型（1）›无红利支付股票收益率遵循的随机过程›dS/S=μdt+σdB›dS/S为股票价格收益率，上式表明可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示。143收益率变化模型（2）›股票收益率dS/S=μdt+σdB›可以用漂移率的期望值为μ，方差率的期望值为σ2的普通布朗运动表示股票收益率。15•股票价格收益率的分布：•记t到T时间内连续复利年利率为则可以得：11ln(lnln)TTttSSSTtSTt由股票价格的对数正态分布性质知：21~((),)2NuTt4相关随机过程›Markov过程(略)›Brown运动›鞅›Ito过程164相关随机过程—Brown运动（1）›布朗运动：花粉热运动，1828年，英国植物学家布朗发现的。1905年，Einstein给出了布朗运动的热运动方程。›布朗运动在物理学领域得到了广泛的应用。›金融学中的布朗运动：1900年法国学者Bachelier在其博士论文《投机理论》中，首次用布朗运动来描述股票的价格变化。这比Einstein的工作还要早五年。但可惜的是，Barchelier的工作直到他去世之后才被发现。17花粉微粒在做永不停息的无规则运动184相关随机过程—Brown运动（2）›美国UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出Brown运动的思路。194相关随机过程—Brown运动（3）›美国UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出Brown运动的思路。204相关随机过程—Brown运动（4）›美国UNLV数学系吴志坚教授给出一个由随机游走引出Brown运动的思路。214相关随机过程—Brown运动（5）224相关随机过程—Brown运动（6）›布朗运动也被成为Weiner过程，这是因为数学家Weiner在对布朗运动的研究中作出了卓越的贡献。›布朗运动的数学定义布朗运动是满足如下性质的随机过程i)独立增量性ii)增量服从正态分布iii)路径连续›布朗运动的路径性质（详见教材7.1节）i)处处连续，处处不可微ii)无限变差iii)有限二次变差23dBdt标准布朗运动：dXdtdBdtdt普通布朗运动：4相关随机过程—Brown运动（7）›高斯（Gauss）过程是指所有有限维分布都是Gauss分布的随机过程。›Gauss分布是正态分布的推广，当其协方差矩阵非退化时，就是正态分布。›进而由数学归纳法的Brown运动B(t)的任何由限维分布都是正态的。24~(,)XN4相关随机过程—Brown运动（8）›例题1254相关随机过程—Brown运动（9）›例题1›同理：4相关随机过程—Brown运动（10）›Brown运动的转移概率和有限维分布4相关随机过程—Brown运动（11）›Brown运动的简单推广›Brown桥4相关随机过程—Brown运动（12）›Brown运动的简单推广–有吸收值得Brown运动–在原点反射的Brown运动–几何Brown运动4相关随机过程—Brown运动（13）›Brown运动的简单推广–有漂移的Brown运动请回顾股票价格模型：股票价格是基于有飘移的Brown运动的几何Brown运动。21()exp{()()}2SttBt4相关随机过程—Brown运动（14）›布朗运动具有马尔科夫性，是一种马氏过程。›布朗运动的鞅性31可证明维纳过程（布朗运动）Wt是一个连续鞅。也是鞅。反过来说也是正确的，即如果是一个连续时间鞅，而Wt也是连续时间鞅，则Wt必然是布朗运动。（参考Elliot&Kopp1999）tWt2tWt2随机过程也是鞅，其中a是任意实数，Wt为维纳过程。taWte2214相关随机过程—鞅（1）32•鞅这个术语早在20世纪30年代由Ville(1939)引进•基本概念来自于法国概率学家列维(Levy，1934)•真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他于1953年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般过程理论的研究。•从此鞅成为现代概率和随机过程的基础，而且在决策和控制模型等方面有着重要应用，并得到快速发展。“鞅”一词来源于法文martingale的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(doublestrategy)。•鞅是“公平”赌博(fairgame)的数学模型。4相关随机过程—鞅（2）33•假设一个人在参加赌博，他已经赌了n次，正准备参加第n+1次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌本数，如果对于任何n都有成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统计上是公平的。•在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把Xn设想为对由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而E(Xn)就是对这种价格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，鞅在20世纪80年代以后迅速成为主流金融经济学研究中标准的时髦。11)|(nnnXXXE4相关随机过程—鞅（3）›一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅。鞅描述的是“公平”赌博；›而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)。描述“有利”赌博；›反之如果该过程总是在减少，则称之为上鞅(supermartingale)。描述“不利”赌博；›实际上，鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式，或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。›鞅的严格定义见教材6.1节。34作业：›P134习题61,4,5；›P154习题71,2,3。35