淋雨量数学的模型

论文题目：雨中行走淋雨量分析实用标准文档精彩文案雨中行走淋雨量分析摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨量近似为0.00243m。针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函数关系。分析表明当跑步速度为maxv时，淋雨量最少。并计算出当雨与人体的夹角θ=0时，淋雨量近似为0.00123m；当θ=30°时，淋雨量近似为0.00163m。针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2ms时淋雨量最少，α=30°时的总淋雨量近似为0.2405556E-033m。针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；实用标准文档精彩文案一、问题重述生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，跑步距离d=1000m，跑步最大速度maxv=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2㎝/h=65.55610/ms，记跑步速度为ν。1.当我们不考虑雨的方向时，假设降雨会淋遍全身，这时如果我们最大速度奔跑会淋多少雨？2.雨从迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度ν及参数abcduωθ之间的关系。问速度ν多大，总淋雨量最少。计算θ=0°，θ=30°时的总淋雨量。3.雨从背面吹来，设雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，建立总淋雨量与速度ν及参数abcduwα之间的关系。问速度ν多大，总淋雨量最少。计算α=30°时的总淋雨量。4.以总淋雨量为纵轴，速度ν为横轴对第3问作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。5.若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化？二、问题分析2.1问题一分析实用标准文档精彩文案若不考虑雨的方向，雨以降雨量w均匀地淋遍全身。将人体简化成长方体，求出人接受雨的总面积，人以最大速度跑步，并计算淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量，求出人跑完全程的总淋雨量W。2.2问题二分析雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为θ，如图1所示。根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前后左右几个方向上。雨迎面吹来时，由于雨相对于人的速度有变化，因此人单位时间内接收雨量变化，且与相对速度成正比。据此，推算出前后侧上单位时间接受雨量。同理，头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比。分别计算出头顶侧与前后侧单位时间接雨量，并分别乘以各自面积以及时间d/t,即得到头顶及两侧淋雨的总量。在人体总的淋雨量.据此可得W与v之间关系，并能求出θ=0和θ=30°时的总淋雨量。图12.3问题三分析雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内且与人体夹角为α，如图2所示。左右方向上淋雨量为0。头顶上单位时间内接收雨的量1w与雨速垂直方向上的分量成正比，1W为头顶面积bc与时间的d/v以及1w之积。当sinvu时，前方不实用标准文档精彩文案受雨，前后方向上单位时间内淋雨量2w与人前进方向上人相对于雨的速度（usinθ-v）成正比，据此推算出2W；而当sinvu时，后方不受雨，由于人速已经高于雨速，这时前面会向前撞上雨滴，即2w与sinvu成正比。2W为人体前面积ab和跑步时间d/v顶淋雨量以及2w之积。由此可计算出总的淋雨量。12据此可得W与v之间关系，并能求出α=30°时的总淋雨量。图22.4问题四分析以总淋雨量W为纵轴、速度ν为横，针对问题三的求解，利用MATLAB作出当α分别为0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°时的曲线图并加以分析。2.5问题五分析实用标准文档精彩文案图3俯视图如图三，为人体模型的俯视图。需要分三部分计算，在前后面上，雨垂直方向分速度为cosu，相对速度为sincosvu，乘上垂直受雨的面积ab以及时间dv即为前后侧受雨量2W。因为垂直于左右面人的分速度为0，左右两面上相对速度为sinsinu乘上面积ac以及时间dv极为左右受雨量3W.而头顶受雨与雨速和人速的夹角大小无关，因此1W仍按（2）、（3）问的算法做。由123可得雨量求法公式。二、模型假设1.人在奔跑过程中，ν大小与方向恒定，即沿直线匀速前进。2.对问题1人体各个方向均匀接受雨量，即单位时间、单位面积上接受雨量恒定。3.对问题2、3雨线与跑步方向在同一平面内，并且雨线与人体夹角不变。在此过程中左右两次因与雨速平行而不沾雨。4.假设雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨速均匀不变5.假设单位时间内接收雨的量与雨速成正比。6.将人体理想化为一个长、宽、高、已知的长方体模型，且人体行走过程中的震荡引起的误差可忽略不计。csinββbcosβ实用标准文档精彩文案三、符号说明a人体高度b人体宽度c人体厚度d跑步距离u雨速w降雨量θ雨迎面吹来时与人体的夹角β俯视图中雨速与人速的夹角maxv跑步最大速度W总淋雨量1s头顶面积2s人前或后表面积1u雨点相对人头顶速度的垂直分量2u雨点相对人前后面速度的垂直分量1w头顶单位时间接收雨量2w前后面单位时间接收雨量1W头顶接收雨量2W人体前后面接收雨量3W人体左右面接收雨量maxv实用标准文档精彩文案五、模型建立与求解5.1问题一不考虑雨的方向，因为降雨量w均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W的求解公式如下：max22dWabbcacwv利用MATLAB编程求解（见附录一），可得：0.0024W3m5.2问题二根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s（顶部）2s（前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1u、行走时间有关。列式求解如下：头顶：11cosuusbcθ实用标准文档精彩文案假设降雨量w与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：111111coscoscoswuwwdbcdθθθ正面：2sinvvuθ而222222212sinsinsinsinvuuwvwwvuwwuvabdWwstwuvbdavθθθ+1θ利用MATLAB编程求解（见附录二），可得：当v=5m/s时，淋雨量W最小；当θ=0°时，W=0.00123m当θ=30°时，W=0.00163m5.3问题三根据题意，根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s（顶部）2s（前后两面），1s面积为1sbc假设：1w与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。头顶：实用标准文档精彩文案111111coscoscoswvvuwwdswtbcwv1W正面：当sinuv时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面2222sinsinwvvuvvuwwu2sinvudWwabuv当sinuvθ时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面2222sinsinwvuvvuvwwu2sinuvdWwabuv因为12所以cossinsincossinsinbcwduvdwabuvvuvWbcwdvudwabuvvuv用lingo编程（见附录三）求解可得：当v=2m/s时，总淋雨量最少;雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-033m。实用标准文档精彩文案图45.4问题四根据问题三的结论，列出总的淋雨量W和人速度v之间的关系式，利用MATLAB画出α取不同值时的函数图像如下：00.511.522.533.544.5-0.01-0.00500.0050.010.0150.020.0250.03v轴W轴分析图像可知，当v=2时，总淋雨量最少。5.5问题五应用（3）中的结论cosdbcwv1Wθ前后侧，当sincosvu时，相对速度sincosvu，实用标准文档精彩文案2sincosvudWwabuv可总结为2sincosvudWwabuv同理，可得左右侧接收雨量3sinsinudWwacuv三者相加得sincossinsincosvuudddWbcwwabwacvuvuvθ+六、模型评价通过对本题的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。本文忽略了降雨密度不均匀，风向不稳定等次要因素，以便更好的对问题进行分析和研究。但在实际问题中的限制性因素远远超过这些，因此此文的分析方法仍存在一定的局限性，有待改进和提高。参考文献[1]薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解.北京：清华大学出版社，2008年10月。[2]陈杰.MATLAB宝典.北京：电子工业出版社，2007年。实用标准文档精彩文案附录附录1：问题一求解程序clear;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;Vm=5;W=(2*a*b+2*a*c+b*c)*w*d/VmW=0.0024附录2：问题二求解程序附录2.1：分析当v=vm时总淋雨量最小程序clear;symstv;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/u;h=diff(minss,'v')%导数h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2%h=-(1/1800*cos(t)+1/240*sin(t))/v^2恒小于零，原函数为减函数附录2.2：当θ=0时总淋雨量程序clear;t=0;实用标准文档精彩文案v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(t)+a*b*d*w*sin(t))/v+a*b*w*d/uminss=0.0012附录2.3：当θ=30°时总淋雨量clear;t=pi/6;v=5;a=1.5;b=0.5;c=0.2;w=0.02/3600;d=1000;u=4;minss=(b*c*d*w*cos(