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传输原理之相场法6121900604李晨星本次作业意在了解相场法，并通过相场法完成晶粒长大的模拟。模拟由本人与张九相共同完成。本人曾独自完成过问题分析，差分格式构建以及编程求解。电脑故障又懒于重新编程，最终的程序由张九相编写，结果也来自张九相。张九相在编程过程中也有一些独到的想法，这会在他的报告中得到体现。一、对相场法的评价本节涉及到本人对相场法的基本态度，因而放在此处进行说明。相场法通过能量的变分对微观过程进行模拟，是一种很了不起的方法。但在相场法中有太多的唯象参数，而其本身又没有很好的确定手段，可信性是有限的。此外，通过数值解法对方程进行求解，随着时间的推移，解会逐渐偏离给定方程，也并不太理想。相场法之所以会得到广泛的推崇，可能其一是在于其将物理问题数学化，其二是在于其得到的结果与真实结果很“像”。不过在编程过程中觉得这只是一个简单的数学游戏，完全看不到其将对生产生活带来的指导意义，这可能与本人的见识浅薄有很大的关系。随着日后的学习，可能会对相场法有更进一步的了解，但在此持保留意见。二、晶粒长大的相场法晶粒长大的相场法由朗道给出，引入了序参量集来表示晶粒的取向。序参量集中的任一序参量η应在-1到1之间。描述晶粒取向时，序参量集中应有一个序参量为1或-1，而其他序参量为0。晶界处的序参量没有明显的特征。通过构造局域自由能密度函数以及进行变分，朗道得到了如下方程∂η𝑖∂t=−L−aη𝑖+−aη𝑖3+2γη𝑖η𝑗2𝑖≠j−k∇2η𝑖,𝑖=1,2,⋯,p其中L、a、γ以及k均为唯象参数。并未对方程的建立进行过详细的学习，因而对其真正想表达的思想并不能完全琢磨透。本文所要做的只是对这一个方程进行编程求解。三、唯象参数的确定采用一种并不太严谨的方法对上述方程进行分析，希望得到一些对于唯象参数选择的启发。这里将右端项拆开，分别考察其分别可能对动力学方程造成的影响。∂η𝑖∂t=−L−aη𝑖+−aη𝑖3一项中，共有三个奇点，分别为0、1以及-1。其中0是不稳定的，而1与-1是稳定的，这说明其会使所有序参量稳定到1或-1。∂η𝑖∂t=−L2γη𝑖η𝑗2𝑖≠j一项并不太容易分析，不过可以轻易的看到其可能会使序参量达到晶粒的规定形式。一个序参量为1或-1，而其他序参量为0，是一种稳定的解。∂η𝑖∂t=−L−k∇2η𝑖一项是一个扩散项，与传热传质的形式很相近，其保证了晶粒有长大的趋势。这一项是极为关键的。事实上，前两项描述的主要是晶粒自己的特性，而后一项描述的是晶粒间的交互作用。这样的分析方法显然是不正确的，但起码会为唯象参数的调整提供一定的依据，不至于在唯象参数调整过程中无从下手。四、差分格式的构建这里研究的是一个二维问题，其差分方法与一维问题有很大的不同。差分格式由自己构造，构造方式如下。∂2η∂x2=1ℎ2𝑓𝑥4−2𝑓𝑥5+𝑓𝑥6∂2η∂y2=1ℎ2𝑓𝑥2−2𝑓𝑥5+𝑓𝑥8规定357为方向n1，规定159为方向n2，由方向导数的相关理论得到：∂2η∂n12=12∂2η∂x2+∂2η∂y2+2∂2η∂x∂y∂2η∂n22=12∂2η∂x2+∂2η∂y2−2∂2η∂x∂y而拉普拉斯算符∇2η表示的是∂2η∂x2+∂2η∂y2，那么得到差分格式如下∇2η=∂2η∂x2+∂2η∂y2=14ℎ2𝑓𝑥1+𝑓𝑥3+𝑓𝑥7+𝑓𝑥9−4𝑓𝑥5+12ℎ2𝑓𝑥2+𝑓𝑥4+𝑓𝑥6+𝑓𝑥8−4𝑓𝑥5考虑采用第二类边界条件，利用延拓边界的方法得到边界处的差分格式，下面以最上面非角处的小单元为例来进行说明。∂η∂y=𝑓𝑥2‘−𝑓𝑥82ℎ=0，这说明𝑓𝑥2可以用𝑓𝑥8来代替，事实上𝑓𝑥1与𝑓𝑥3两项也可以用𝑓𝑥7与𝑓𝑥9两项来代替，严格的证明不在此给出。其他的情况用对称的点代替之也是正确的。五、赋初值初始条件的确定，采用为每一个序参量赋一个随机值的办法。然而朗道方程描述的是晶粒长大的过程，总觉得应该有一定大小的初始晶粒才满足方程描述的意义。虽然对这一点并不太确信，不过仍旧对如何读取一幅晶粒图片进行了研究。读取图片后得到的图像矩阵经过一定的处理，晶界处为0，晶内为255。采用图像深度搜索的办法（递归搜索），可以对晶粒进行划分。可以在另一个矩阵中将晶粒记录下来，最终进行序参量的赋值。我们在作业中完成了晶粒的划分，但没有对图片进行读取，这与时间紧张存在一定的关系。不过这样做是否有必要也是不确定的。六、晶粒的生长取序参量为3个，离散空间h为1，离散时间t为0.1，取L为1，a为1，γ为1，k为0.5。选定空间网格为300×300，时间共运行400步。赋初值为-0.005到0.005的均匀分布，生长后结果如下左图示，右侧为真实晶粒的图片。计算机模拟生长出的晶粒与真实的晶粒有一定的相似之处，但也存在较大差异。这主要体现在晶粒的形状上，这应当与序参量选取较少和生长时间较短应该有很大的关系，不过模拟生长的晶粒仍有部分形状与真实晶粒接近。通过对模拟晶粒连续的观察发现，晶粒的生长主要包含大晶粒对小晶粒的吞并以及晶界的光滑化。七、小结文献中指出，要与真实晶粒生长结果相近，至少要选取20个序参量。而在本次作业中，为了使程序的运行更为迅速，仅取了3个序参量，事实证明这样的工作是不可取的。由于缺乏对朗道方程的理解，在模拟过程中所做的事情只是一个简单的编程。编程过程中存在的疑惑在文章开头已经指出。如何建立相场法模拟与实际生产生活的联系，并提供一定的指导意义，是当前最为疑惑的问题。这可能要通过更进一步的学习才能找到答案。参考文献《传输原理讲义》，张雁祥《晶粒生长过程的相场模型研究进展》，周有欣等，《材料导报》，2010年5月