第四章-债券的定价分析

第四章债券的定价分析一、利率期限结构模型二、二叉树定价模型三、几类嵌入期权债券定价2一、利率期限结构模型Black-Scholes模型很难直接用于对固定收益证券定价。原因有二：1、B-S模型假定了利率期限结构是水平的，这假设对期限可达数十年的长期债券，显然是不合理的。2、债券价格变化的标准差非常小，而且债券价格随着到期日的临近将趋同于债券的面值。如果未来利率和现金流都是固定的，那么讨论债券的定价问题就毫无必要。因此，利率期限结构对固定收益证券的定价非常重要。3利率期限结构模型（TermStructureModel）涉及整个收益率曲线的运动。主要包括：单因素模型；双因素模型。从静态来看，在同一时点上，必须同时对不同期限的利率变化加以描述；从动态来看，必须对不同时点的利率变化加以描述。4（一）单因素模型1、概述在单因素模型中，利率运动过程只包含一个不确定性的来源。单因素模型可分为两类：一类是假定利率本身的运动过程服从正态分布，其基本的形式是：值表示利率的长期回归均符合正态分布其中：dzadzrdtradtttrt,0,0,10)(5随着λ的不同，上式可以演变为不同的模型，如果：对数正态分布模型）模型（模型；符合正态分布，如表示,11985,5.0)1977(r,0RossIngersollCoxVasicek6另一类单因素模型则是假定利率的对数值服从正态分布，从而提出了对数正态分布模型，其基本的形式为：模型可变时，为，当模型；不变时，为，当其中：ToyDermankBaSalomomadzdtrardttttlac00)ln(lntt72、Rendleman和Bartter模型Rendleman和Bartter模型中，利率被假定为服从几何布朗运动，具有常数期望增长率μ和常数波动率σ，其风险中性过程可以表示为：rdzrdtdr8从这里可以看到，Rendleman,Bartter模型所描述的利率期限结构变化，与典型的股票价格变化是一致的，正如可以用二叉树分析股票价格一样，也可以用二叉树的方法对利率期限结构进行讨论，具体参数的决定如下：tttuedeedpd9Rendleman,Batter模型的缺陷：在上面有关的假设中，Rendleman,Batter模型假定了利率和股票价格的波动是相似的。但在现实生活中，二者有着显著的差异，主要表现在利率会随时间的推移而呈现出向某个长期平均水平收敛的趋势，即有均值回归的特点（MeanReversion）。103、Vasicek模型Vasicek模型可以表示为：考虑了利率的均值回复，假设了短期利率以速率a拉向均值μ，且这个额外的“拉力”服从正态分布的随机项。根据这一模型，在T时刻到期的债券在t时刻的价值P（t,T）可以表示如下：()tttdrardtdz(,)(,)(,)tBtTrPtTAtTe11从上式可以看到，trT与rt之间呈线性关系。特殊的时候，如果a＝0，则：A(t,T)=T-t,B(t,T)=exp[σ2(T-t)3/6]。可以推导出：4),()2)((),(exp),(1t),(ln1)(),(122222)(TtBtTTtBTtAeTBTtAtTtrTtBtTrtTTt），（上式中：12Vasicek模型在利率期限结构模型中，形式相对较为简单，也比较容易使用。但这一模型无法避免负利率问题，因为Vasicek模型假定利率变化呈正态分布；而且假定了所有的债券之间都是完全正相关的。这一模型另一个不足之处是，无法用该模型直接推导出实际的期限结构曲线。在对以债券为基础的欧式期权定价时，这一模型还是有用的。13Jamshidian根据Vasicek模型推导出计算T时刻到期的、基于零息债券的欧式看涨期权在t时刻价值的公式为：2()()(,)()(,)()1(,)ln(,)2112(,)(,)zbpppaTtasTpzbcLPtsNhXPtTNhLPtshXPtTeeaacPtstsPtTtTL式中：表示零息票债券的欧式看涨期权价值表示时刻债券在时刻的债券价值表示时刻债券在时刻的债券价值表示债券的本金N表示累积正态分布函数s表示债券的到期期限X表示期权的执行价格14对欧式看跌期权，其公式为：(,)()(,)()zbppXPtTNhLPtsNh特殊情况，当a=0时，σp＝σ（s-T）(T-t)0.5。对于附息票的债券，因为Vasicek模型假定了债券价格间的完全相关，所以，该模型也可用于从零息债券期权的价格中求解附息票债券欧式期权的价值。基本原理是，将附息票债券看成一系列的零息债券期权。154、Cox,Ingersoll和Ross模型如同前面分析过的，Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型区别于Vasicek模型的区别之处就在于对均值回归模型中利率方差的假定不同，CIR模型的微分形式是：可以看到，随机项的标准差是正比于的，即假定了利率波动的标准差会随着利率的升高而升高。与Vasicek模型一样，长期利率线性地依赖于当前利率rt，这表明，CIR模型中长期利率水平，同样取决于当前时间t的利率。trtttttdzrdradr)(16类似地，可以推导出T时刻到期的债券在t时刻的价值P(t,T)同样可以表示为：(,)(,)(,)tBtTrPtTAtTe但要注意，这里的A和B函数不同于Vasicek模型：2()()2/()()/2()2221(,)()122(,)()122TtTtaaTtTteBrTaeeAtTaea式中：＝1718几种单因素模型及其相应的理论假定模型利率分布假定波动率Ho-Lee模型正态分布不变Hull-White模型正态分布，均值回归不变Salomon模型对数正态分布不变BDT模型对数正态分布变化Black-Karasinki模型对数正态分布,均值回归变化对于几种主要的单因素模型及其相应的条件假定，可总结如下表：19（二）双因素模型对于单因素模型中假定的所有债券收益都是完全正相关，且利率期限结构完全依赖于短期利率，Brennan和Schwartz（1978）在同时假定短期和长期利率的波动均符合正态分布的条件下，即：再规定r1=r2-s，以避免长期和短期利率间出现利差太大的情况，并同时假定了利差波动符合下面的过程：后来，1995年，Longstaff和Schwartz又利用短期利率及其波动率提出了新的双因素模型。1111122222drardtdzdrardtdzsssssdsardtdz固定收益证券分析二、嵌入期权的债券定价（一）概述任何期权都可以根据需要嵌入债券中，作为债券条款的有机组成部分。常见的债券嵌式期权主要包括：赎回权、回售权转股权、转股价修正权提前偿付权、本息截留权利率上下限选择权等。固定收益证券分析期权的嵌入，不仅可能影响债券现金流的大小、还可能影响现金流的方向和时间。例如可赎回债券，其赎回价格与债券的市场价格的不一致，就会影响债券现金流的大小；赎回期与债券到期日不同，则影响现金流的时间。而利率上下限选择权，则将影响债券适用的利率。固定收益证券分析对利率可能随时间而变化的情况加以分析和说明的模型，被称为利率模型(InterestRateModel)。通过假定短期利率与利率波动性之间的关系，如假定利率和利率的波动符合正态分布，从而构造出某一时间段后，利率的变化分布，如利率树(InterestRateTree)。固定收益证券分析仅对短期或长期利率进行预测、排树的模型称为单因素模型(One-FactorModel)；同时对短期和长期利率进行预测的，则称为双因素模型(Two-FactorModel)。虽然不同模式所选择的变量不同，但基本原理都是一致的，都是以利率及其波动性之间呈某种特定关系为基础。固定收益证券分析（二）二叉树模型以利率的未来变化呈二项分布为基础的二叉树模型，是相对较为简单和直观的模式之一。下面将重点对二叉树模型加以介绍，并运用这一模型对可赎回债券、回售债券等价格进行讨论。251、一个例子：一个零息票债券，面值为1000元，一年后到期。当前半年期的即期利率为5%，一年期的即期利率为5.15%，均为半年计复利。半年后的半年期即期利率可能从5%上升为5.5%或下降为4.5%，即：26如果半年后利率上升为5.5%，则债券价值为：如果半年后利率下降为4.5%，则债券价值为：如果按当前5.15%一年期即期利率计算，债券价值为：27我们可以得到这个一年期零息票债券的价格：28如果半年后利率上升和下降的概率各占50%，则：不等于实际价格950.42。假定半年后利率上升的概率为p：可求得p=0.802429我们继续假设：一个零息票债券，面值为1000元，一年半后到期。当前半年期的即期利率为5%，一年期的即期利率为5.15%，一年半期的即期利率为5.25%，均为半年计复利。半年后和一年后的半年期即期利率可能如下变动：302/04.01100039.9802/05.01100061.97531我们可以得到这个一年半期零息票债券的价格：32依前述，第一个半年利率上升的概率为p=0.8024，债券价格可以表示为：假定第二个半年利率上升和下降的概率为q，可得：33综合上两式可得：可求得：q=0.648934固定收益证券分析2、模型假定所谓二叉树模型的利率树，是基于短期利率波动的某一假设条件下，利率波动可能性的一种图形描述。这一模型的基本理论假定包括以下几个方面：一是下一期的利率波动只有两种可能的情况：上升或下降；二是各期利率上升或下降的概率保持不变；三是各期利率的分布符合正态分布；四是各期利率的波动性保持不变。固定收益证券分析3、二叉树模型的利率树tttuedeedpudt:ude其中：：利率上升的比例：利率下降的比例：自然对数常数：利率波动性单个时间段的时间长度p:利率上涨的概率：利率的平均值固定收益证券分析简单二叉树模型利率树固定收益证券分析上图中最后一列列出的是出现这种利率的概率。其计算公式为：nkPx=k=n!C=k!n-k!Px=knknkpqq=1-pknknknkpqCC其中：：在个时间段中，有次出现上涨的概率：二项式系数，即个时间段中，有次出现上涨的可能路径数：利率上涨的概率：利率下跌的概率，39从上图可以看到，二叉树模型在假定下期利率只有两种变化的基础上，通过分析各种可能的变化，从而构造出多个时间阶段后的利率分布情况。假如市场平均利率为4%，其年波动值(利率波动的标准差)为20%，按波动率的计算公式，可知每半年的波动率为14.14%。根据前面的假定，则其每半年的上涨和下降幅度应分别为原来的115.191%和86.812%。且利率上涨和下跌的概率分别为59.02%和40.98%。40这种估计远期利率分布的方法使用很少，主要原因是这一方法所假定的未来利率分布呈上涨和下跌概率不变的二项分布，缺乏根据市场变化对所推导利率进行修正或调整，从而可能使理论与实际的市场情况存在较大误差的可能。对于大多数较为成熟的金融市场，都有利率期限结构等市场对远期市场的预期，完全可以作为推算远期利率的修正基础。414、远期利率对二叉树的修正：无套利分析对理论推测进行修正的基本思路，是引入无套利分析法，即无论下一个时点利率如何变化，从下一个时点贴现现金流的贴现系数，应该与直接使用前一时点到下一时点间的远期利率进行贴现的贴现系数相同，从而使市场不再存在任何套利机会。42假如未来时点上不同的利率水平符合二项分布，用公式表示，上面的思路可以描述成：2111(1)111f