chapter8-含权证券价值分析(加均衡模型和无套利模型)

第七章利率期权•第一节基本概念•第二节影响期权价值的因素•第三节期权定价模型——Black’smodels•第四节二项式模型•第五节顶、底、互换选择权的定价•第六节利率模型•第七节可转换债券第一节基本概念•定义•嵌入期权的金融工具•期权的盈亏定义•期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。•买入期权（CallOption），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。•卖出期权（PutOption），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。•美式期权（Americanoption），在到期前的任何时刻都可以执行的期权。•欧式期权（Europeanoption），只有在到期时才能执行的期权。定义•In-the-money•Out-of-themoney•At-the-money•Strikeprice：exerciseprice嵌入期权的金融工具•可回购债券（callablebonds）•可回卖债券（puttablebonds）•可提前偿还的住房贷款（prepayablemortgages）•顶（caps）,箍（collars）,底（floors）•期货期权（optionsonfutures）(e.g.,EurodollarsandTreasurynotes)•互换期权（swaptions）期权的盈亏•profitprofit•LongacallShortacall期权的盈亏•profitprofit•LongaputShortaput第二节影响期权价值的因素因素Call的价格Put的价格标的证券的价格执行价格到期时间利率波动率短期利率利息支付上升下降上升上升上升下降下降上升上升上升下降上升第三节期权定价模型——Black’smodels•Black－Scholes)()(21dNKedSNCrTTTrKSd)2/()/ln(21Tdd12例7.1.Black-Scholes模型的问题•给欧式calloption定价：3年零息债券，施权价格$110,面值$100•结论很明显，应该是0.•但在下面假设情况下，r=10%，4%的年价格波动率，用Black-Scholes模型计算出来的价格为7.78!应用传统Black-ScholesModel给债券定价的问题模型假定债券特征1.证券价格对应一定的概率可以高到任何水平2.短期利率不变3.价格波动率不变债券有最高价。如果再高，除非市场利率为负。短期利率变化！债券价格的波动率在接近偿还期时会降低。价格波动率：股票与债券•股票•债券•时间Black'sModel•尽管存在着以上问题，Black-Scholes的变形，叫做Black’sModel,也还经常被使用，条件是:–a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。–b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。•例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Black’sModel利用Black’sModel给欧式期权定价)()()()(1221dFNdKNePdKNdFNePrTprTcTTKFd2/)/ln(21Tdd12利用Black‘sModel给欧式期权定价•T=期权到期日•F=到期日为T，价值为V的远期价格•K=执行价格•r=T期的即期收益率(连续利率)•σ=F的波动率•N=累积正态分布•Pc=valueofcall•Pp=valueofput例7.2:应用Black'sModel•给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75的，面值$1,000,半年利息$50(在3个月后和9个月后得到)?•已知–今天债券价格$960(包括应计利息)–执行价格$1,000–3个月的无风险利率为9%，9个月的无风险利率为9.5%，10个月的无风险利率为10%(以年为基础，连续利率)–债券价格的波动率为年9%例7.2:应用Black'sModel•求解•第一步:找到远期价格•计算期权价格的参数为:F=939.68,X=1000,r=0.1,σ=0.09,T=10/12=.8333.0.09(.25)0.095(.75)0.1(.8333)09605050939.68PeeFeF例7.2:应用Black'sModel49.9)(1000)(68.939218333.01.0dNdNePc8333.009.02/8333.009.0)1000/68.939ln(21d8333.009.012dd均衡定价模型•均衡定价模型以零息债券为分析对象，把当期时间定义为0，状态代表不确定性。0时点的状态是已知的，而未来的状态是未知的。•一个零息债券的价格通常是当前时间、偿还期T、当期状态的函数。一个零息债券在0时点和状态情形下的价格期限结构，就是随着期限T的增加而改变的的形状。si,...2,1ii),,0(iTP均衡定价模型•如果一个证券在1时点上到期，那么在1时点该债券的价格就是确定的，一定为面值，比如是100元。在0时点，在状态时，该债券的价格为ii),1,0(100),1,0(iRiP均衡定价模型•当1时点价格不确定时，如何确定0时点债券的价格呢？•在资产定价的均衡模型中，债券被认为是投资者投资组合中的一种资产。标准的分析中，一般的投资者在进行消费和资产选择决策时，是为了获得在0时点在状态i情形下所获得的期望效用（可分、可加）的总和达到最大。)),0((iCU均衡定价模型•对于任一点t而言，投资者进行决策是要获得在时点t在状态i的情形下期望效用总和达到最大。实现效用最大化的一个必要条件是，投资者在时点t出售边际数额资产而被迫放弃未来消费，致使日后满足程度下，必须与在t时刻消费那么多钱所产生的边际效用相等。假定在时点t投资者出售的资产是偿还期为T的零息债券，出售价格为，消费这些价值给投资者带来满足的增加，为•这里，为效用函数对消费的一阶导数。),,(iTtPitCUiTtPC,),,()],([itCUC•而在t+1时刻出售这一债券所带来的边际效用的损失,是t+1时刻不确定收益的期望值乘以在t+1时刻消费这些收入所带来的边际效用。如果是均衡价格，那么期望损失应该等于期望收益，即•这里，为t+1状态i发生的概率•这就是著名的Euler方程),,1(iTtP)],1([itCUC),,1(iTtPsiCiCitCUiTtPitCUiTtP1,1,,1)],([,,i•如果定义即是从边际的角度来表示的t时刻状态i情形下消费与t+1时刻不确定状态消费的平衡，那么有)],([)],1([,1,itCUitCUittmCCisi,...2,1siiiiTtPittmiiTtP1)],,1(,1,[,,imEuler方程在t时刻与未来任意时刻都要成立，即不仅是在t与t+1期间成立，而且在t时刻与每种零息债券偿还期T期间，该方程也要成立。因此，这里为零息债券的到期收益率加上1sitTiiiTtRmiTtP1,,100100,,),,(iTtR•Euler方程式个人求得一生消费的预期效用达到最大的必要条件。Euler方程忽略了影响投资决策的很多重要因素，这些因素包括：交易成本、破产、融资限制、效用函数的不可加性等。但单期资本资产定价模型、套利定价模型等都源于euler方程，因此债券定价也与上述定价模型相一致。Leroy和breeden专门研究了euler方程对债券定价的问题。无风险套利定价模型•由于单期无风险收益率是已知的常数，t时刻债券定价模型可以写成•如果不存在套利机会，那么上式可以写成•这里，为有效概率，也成为风险中立（riskneutral）概率。这一式子不难理解，只要将前面的公式变换一下，即•其中是对1年后债券价格的预期，使用的是风险中立概率siiiiTtPitRmitRiiTtP1)],,1(,[,1,,itRiTtPiiTtPsiii,),,1(,,11iiitRiTtPTtPE,,,,,1Ei),(itR这说明，如果投资者是风险中立的，那么1年后，零息债券相对于今天而言的价格上升幅度，刚好为无风险收益率。由于是非负的，总和为1，因此，没有套利机会，并且存在一个线性定价算子，可以用于评估资产价值。上述理论问题被解决后，人们可以利用公式来对固定收益证券进行估价，前提是人们都是风险中立者，并且市场上不存在套利机会。i•假定只存在一个状态变量影响债券价格变动。这一状态变量就是单期利率。在这种情况下，2年期零息债券价格的不确定性，可以用一个投资组合来表示，其中包括3年期零息债券和按无风险利率借入或借出资金。3年期债券持有额取决于该3年期债券价格的敏感性，而造成债券价格波动的因素仅仅是利率。用3年期债券和1年期债券构造一个2年期债券，是二项式模型估算固定收益证券价值的最精华之处。这与用标的股票和无风险借贷来复制股票期权道理是一样的。•假定现在时刻为0，2年期债券的价格为，简化为A；3年期债券的价格为，简化为B；无风险毛收益率为R。再假定在1时点，利率进而债券价格会移动到两种状态中的一个，即利率或者上升到，或者下降到。2年期和3年期债券价格则分别下降到和，或者分别上升到和。3年期债券价格变化区间为，2年期债券价格变化区间为iiP,2,0iiP,3,0uRdRdAdBuAuBBBBdu)(AAAdu)(•用树图来表示单期利率、2年期利率、3年期利率债券价格的变化如图RRuRdRuuRudRddAAdAuBBdBuBddBudBuu•对于2年期债券A来讲，在1时点就变成了1年期债券，因此在时点2为到期面值。而对于3年期债券B来讲，价格在1时点和2时点都是不确定的，价格上升与下降完全依赖于当时的利率变化。在2时点，3年期债券变成了1年期债券，而1年期债券在期末价值是确定的。在二项式模型中，利率变化以及债券价格变化都被假定为路径独立的，即对于3年期债券B而言，在2时点的价格与利率先涨后跌或者先跌后涨没有关系。路径独立意味着，债券价格波动性与价格水平无关。•只要影响各期零息债券价格变化的因素就是利率一个，那么在1时点上2年期债券A的价值可以被一个组合复制出来，该组合包含了在0时点购买3年期债券B并按无风险利率借入资金。假设购买3年期债券的数量为，借入资金的数量为C，那么有解此方程得uuACRBddACRBduduBBAARBBBAABCdududu)(•既然该组合与2年期债券有相同的现金流量，因此在0时点，2年期债券A的价值要等于投资组合的价值，即•在未来任意时点，债券价格都是按无套利条件来确定的。为此，引入利率变化进而债券价格变化的概率。令是利率下降的实际概率，因此也是债券价格上升得实际概率，因此有)(1)(1CRBCRBAAduduCRBBdu])1([CBA•无套利条件为•得•整理得•无套利时•因此CBA)(])1([1BARBBAAdudu])1([1BRBBARAAdudududuBBAAdudududuBBBRBBAAARAA)1(1•上式有非常直观而且重要的经济含义：所有债券单位风险溢价（riskpremium）——风险价格都相等。风险用债券价格的波动幅度来表示，溢价用期望收益与无风险收益之差来表示。这说明，一个债券单位风险价格可以独立于其偿还期，尽管该风险价格随着利率水平R与时间点的变化而变化。•将前面的公式稍加变化，有•令，有•其中为风险中性的概率•公式*为风险中立情形下债券价值的评估等式。duduAAARAA1)(1dudu