5.5-基本不等式-课件(人教A版选修4-5)

（一）、基本不等式不等式的性质⑴(对称性或反身性)两个实数大小比较:abab0⑴;abab0⑵;abab0⑶1、abbaabbcac，abacbcabcdacbd，⑵(传递性)⑶(可加性)移项法则2、(同向可相加)⑷(可乘性)0abcacbc，；0abcacbc，.(正数同向可相乘)00abcdacbd，⑸(乘方法则)00nnabnNab（）⑹(开方法则)0,20nnabnNnab（≥）⑺(倒数法则)110ababab，掌握不等式的性质，应注意：条件与结论间的对应关系，是“”符号还是“”符号；运用不等式性质的关键是不等号方向，条件与不等号方向是紧密相连的。2答案3答案课堂练习:1.判断下列命题是否正确:(1)cabcba,()(2)bcacba()(3)22bcacba()(4)bdacdcba,()(5)bacbca22()(6)baba22()(7)22baba()(8)22baba()(9)dbcadcba0,0()×√××√××√×基础练习:2．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R且x≠1，比较A，B的大小.提示:比较大小,最简单、最有效的方法是作差→变形→定符号.变形方法有二种:一、是分解因式；二是配方.解:∵A-B=1+2x4-(2x3+x2)=432(22)(1)xxx=32(1)(1)(1)xxxx=3(1)(21)xxx=2(1)(1)(221)xxxx=2211(1)2()022xx∴AB3、基本不等式22如果a，b∈R，那么a+b≥2ab，当且仅当a=b时等定理1：号成立。几何解释22baab（基本不等式）a+b如果a，b0，那么≥ab，2当且仅当a=b时等定理2：号成立。算术平均数几何平均数几何解释OabDabACB可以用来求最值(积定和小，和定积大)注：一正、二定、三等。定理：设,,xyz都是正数，则有⑴若xyS（定值），则当xy时，xy有最小值2.s⑵若xyp（定值），则当xy时，xy有最大值2.4p课堂练习：3．⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.⑶求函数2232xyx的最小值.解⑴(重要不等式法)∵302x,∴0320xx且,∴(32)xx=12(32)2xx≤123222xx=324当且仅当34x时取等号.∴函数(32)yxx的最大值为324,当且仅当34x取得.3⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.⑶求函数2232xyx的最小值.解:⑵∵3x,∴30x∴2222(9)181826333xxyxxxx=182(3)123xx≥24当且仅当182(3)3xx即6x时取等号.∴函数22(3)3xyxx的最小值为24,且当6x时取得.解:⑶∵22222232112222xxyxxxx又∵222x≥,又∵函数1ytt在1,t时是减函数.∴当0x时,函数y22122xx取得最小值322.3⑴已知302x,求函数(32)yxx的最大值.⑵求函数22(3)3xyxx的最小值.⑶求函数2232xyx的最小值.3⑶求函数2232xyx的最小值.解:⑶∵22222232112222xxyxxxx≥2∴函数2232xyx的最小值为2.上面解法错在哪?均值不等式可以用来求最值(积定和小，和定积大),但特别要注意条件的满足：一正、二定、三相等.),(2211222Rbababaabba总结：当且仅当ba时取等号变形式：abbaab2),(22222Rbababaab),(222Rbabaab练习:1.已知0,0ab,2310ab,则32ba的最大值是____.2.已知0x，0y，且21xy，则11uxy的最小值是______________。3.函数28(1)1xyxx的最小值为______.4.现有两个定值电阻，串联后等效电阻值为R，并联后等效电阻值为r，若Rkr,则实数k的取值范围是_____.253228k≥4例1求证:(1)在所有周长相同的矩形中,正方--------------形的面积最大;(2)在所有面积相同的矩形中,正方---------------形的周长最短.xyS周长L=2x+2y设矩形周长为L,面积为S,一边长为x,一边长为y,例2:某居民小区要建一做八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200平方米的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价每平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,每平方米造价80元.(1)设总造价为S元,AD长x为米,试建立S关于x的函数关系式;(2)当为何值时S最小,并求出这个最小值.QDBCFAEHGPMN解:设AM=y米22200-42004xxyxyx因而2242002104802Sxxyy于是0102xx书P7新课：三个正数的算术—几何平均不等式类比基本不等式得定理3：如果abcR、、，那么33abcabc≥，当且仅当abc时，等号成立.推广：对于n个正数123,,,naaaa，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即123123nnnaaaaaaaan≥(当且仅当123naaaa时取等号.)定理：设,,xyz都是正数，则有⑴若xyzS（定值），则当xyz时，xyz有最小值33.s⑵若xyzp（定值），则当xyz时，xyz有最大值3.27p例1求函数在上的最大值.()[,]211303yxx注：一正、二定、三等。问题求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大.xyzvxyz解：设长方体的三边长度分别为x、y、z,则长方体的体积为222Sxyxzyz而略例2:如图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多小时？才能使盒子的容积最大？ax2(2)0)2vaxxax解：依意有（题3,,()27xyzRxyzxyz≥已知，例3：求证:（二）绝对值不等式我们来研究:绝对值有什么性质?我们知道,一个实数a的绝对值的意义:⑴(0)0(0)(0)aaaaaa;（定义）⑵a的几何意义:OA||axa0关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.①2aa②abab,aabb,……思考:用恰当的方法在数轴上把,,abab表示出来，你能发现它们之间的什么关系?注：绝对值的几何意义:⑴a表示数轴上的数A对应的点与原点O的距离OA;⑵ab表示数轴上的数A对应的点与数b对应的点B的距离.如图:即a=OA，abAB猜想：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.若把,ab换为向量,ab情形怎样？定理1如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）ababab如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）abababab由这个图，你还能发现什么结论？定理（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则ababab≤≤推论1：1212nnaaaaaa≤.推论2：如果abc、、是实数,那么acabbc≤,当且仅当()()0abbc≥时,等号成立.课堂练习：1.(课本15P例1)已知0,,xaybεεε，求证：23235xyabε.2.(课本20P习题1.2第1题)求证:⑴2ababa≥;⑵2ababb≤3.(课本20P习题1.2第3题)求证:⑴xaxbab≥;⑵xaxbab≤答案继续例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?·10x··20解：如果生活区建于公路路碑的第xkm处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)-230(10)()10(1020)230(20)xxSxxxx≤≤204060102030010,Sx所以（）的最小值是答:生活区建于两路碑间的任意位置都满足条件.当1020x≤≤时取到.问题:你能一眼看出下面两个不等式的解集吗?⑴1x⑵1x（三）绝对值不等式的解法方法一:利用绝对值的几何意义观察；方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论;方法三:两边同时平方去掉绝对值符号;方法四:利用函数图象观察.这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.主要方法有:0-1不等式|x|1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}探索：不等式|x|1的解集.方法一：利用绝对值的几何意义观察①当x≥0时，原不等式可化为x＜1②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1∴0≤x＜1∴－1＜x＜0综合①②得，原不等式的解集为{x|－1x1}方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论探索：不等式|x|1的解集。对原不等式两边平方得x21即x2－10即(x+1)(x－1)0即－1x1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法三：两边同时平方去掉绝对值符号.从函数观点看，不等式|x|1的解集表示函数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部分对应的x的取值范围.oxy11－1y=1所以，不等式|x|1的解集为{x|-1x1}方法四：利用函数图象观察一般地，可得解集规律:形如|x|a和|x|a(a0)的含绝对值的不等式的解集:①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.(1)|32|7x≥(4)1|34|6x≤2(2)|3|4xx(3)|32|1x解:∵|32|7x≥∴237x≥∴237237xx或≥≤∴52xx或≥≤∴原不等式的解集为,25,.(1,4)(,0)(1,)2105(1,][,)333试解下列不等式：课堂练习一：思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式（组），根据式子的特点可用下列解法公式进行转化：⑴fxaafxafxa(0)或；⑵(