简谐运动的图像和公式课件

第一章机械振动1.3简谐运动的图像和公式1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息.学习目标定位学习探究区一、简谐运动的图像二、简谐运动的表达式及相位差一、简谐运动的图像问题设计返回1.我们研究直线运动时，经常使用x－t图像和v－t图像来描述物体的运动，对于简谐运动也可以用运动图像来描述它的运动情况.甲、乙两同学合作模拟简谐运动的x－t图像如图1所示，取一张白纸，在正中间画一条直线OO′，将白纸平铺在桌面上，甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线，乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸.图1返回(1)白纸不动时，甲同学画出的轨迹是怎样的？(2)乙同学匀速向右拖动白纸时，甲同学画出的轨迹又是怎样的？答案(1)是一条垂直于OO′的直线.(2)轨迹如图，类似于正弦曲线.一、简谐运动的图像返回2.绘制简谐运动的x－t图像如图2所示，使漏斗在竖直平面内做小角度摆动，并垂直于摆动平面匀速拉动薄板，则细沙在薄板上形成曲线.若以振子的平衡位置为坐标原点，沿着振动方向建立x轴，垂直于振动方向建立t轴，则这些曲线就是振子的位移—时间图像.(1)为什么这就是振子的位移—时间图像？(2)位移—时间图像与什么函数图像类似？图2一、简谐运动的图像返回答案(1)以单摆为例，当单摆摆动时，薄板从左向右匀速运动.所以薄板运动的距离与时间成正比.因此可用薄板运动的距离代表时间轴，图像上每一个点的位置反映了不同时刻振子离开平衡位置的位移，即位移随时间变化的规律.(2)与正弦(或余弦)函数图像类似.一、简谐运动的图像要点提炼返回1.如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条，这样的振动叫做简谐运动，它是最简单、最基本的振动.弹簧振子的运动就是.2.图像的应用(1)确定位移及变化从简谐运动图像可直接读出不同时刻t的值，从最大位移处向平衡位置运动过程中位移减小，从平衡位置向最大位移处运动过程中位移增大.正弦曲线简谐运动位移一、简谐运动的图像返回(2)确定各时刻速度的大小和方向方法一：切线斜率法.切线斜率的绝对值表示速度大小，切线斜率的正负表示速度方向.方法二：根据实际情况判断.①速度的方向结合质点的实际运动方向判断.一、简谐运动的图像返回②速度的大小根据位移情况判断：在平衡位置，质点速度；在最大位移处，质点速度为.在从平衡位置向最大位移处运动的过程中，速度；在从最大位移处向平衡位置运动的过程中，速度.最大0减小增大一、简谐运动的图像二、简谐运动的表达式及相位差问题设计返回1.将两个相同的单摆向同一方向拉开相同的角度，然后同时释放.两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们同时到达同侧的最大位移处，也同时到达平衡位置，它们总是“步调一致”，相位相同，相位差为0.2.将两个摆长相同的单摆向相反方向拉开相同的角度，然后同时释放，观察两个单摆的振动有什么特点？它们的相位差是多大？答案它们各时刻的位移总是相反，相位差为π.二、简谐运动的表达式及相位差返回3.正弦函数y＝Asin(ωt＋φ)的表达式中，A、ω、φ分别表示什么意义？答案A代表简谐运动的振幅；ω叫做简谐运动的“圆频率”，它与周期T、频率f的关系为ω＝、ω＝2πf；(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ是初相位.2πT二、简谐运动的表达式及相位差对表达式x＝Asin(ωt＋φ)的理解1.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移；t表示振动的时间.2.A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即.3.ω称做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动振动的快慢，与周期T及频率f的关系：ω＝＝.所以表达式也可写成：要点提炼返回2πTx＝Asin2πTt＋φ或x＝Asin(2πft＋φ).振幅2πf二、简谐运动的表达式及相位差返回4.ωt＋φ代表了做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以ωt＋φ代表简谐运动的相位；其中φ是t＝0时的相位，称为初相位或初相.相位是一个角度，单位是或.5.相位差若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin(ωt＋φ1)，x2＝A2sin(ωt＋φ2)，则相位差为Δφ＝＝.当Δφ＝时，两振动质点振动步调一致.当Δφ＝时，两振动质点振动步调完全相反.弧度度(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)φ2－φ10π返回一、对简谐运动的图像的理解典例精析例1如图3所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：图3(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？(2)在1.5s和2.5s两个时刻，质点向哪个方向运动？(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？返回一、对简谐运动的图像的理解典例精析解析由题图上的信息，结合质点的振动过程可知(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值，为10cm；(2)在1.5s后质点位移逐渐减小，因此质点是向平衡位置运动，在2.5s后质点位移逐渐增大，因此质点是背离平衡位置运动；(3)第2秒末质点在平衡位置，因此位移为零.质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10cm×4＝40cm.答案见解析返回一、对简谐运动的图像的理解典例精析例2如图4所示为某质点做简谐运动的图像，下列说法中正确的是()图4A.A、B两点速度方向相同B.B、C两点速度方向相同C.从B至C速度先增大后减小D.从B至C速度先减小后增大返回一、对简谐运动的图像的理解典例精析解析A、B在平衡位置同一侧的同一位置，速度大小相等，方向相反，A项错；B、C在平衡位置两侧，且距离平衡位置距离相等，质点先经过B后经过C，故B、C两点速度大小、方向均相等，B项正确；质点在平衡位置速度最大，故质点从B至C的过程中，速度先增大后减小，C项正确，D项错误.答案BC返回二、对简谐运动的表达式的理解典例精析例3一个小球和轻质弹簧组成的系统，按x1＝5sin(8πt＋π)cm的规律振动.(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相.(2)另一简谐运动表达式为x2＝5sin(8πt＋π)cm，求它们的相位差.1454返回典例精析二、对简谐运动的表达式的理解解析(1)已知ω＝8πrad/s，由ω＝2πT得T＝14s，f＝1T＝4Hz.A＝5cm，φ1＝π4.答案(1)14s4Hz5cmπ4(2)π(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得Δφ＝54π－π4＝π.返回典例精析针对训炼有两个振动，其表达式分别是x1＝4sin(100πt＋)cm，x2＝5sin(100πt＋)cm，下列说法正确的是()A.它们的振幅相同B.它们的周期相同C.它们的相位差恒定D.它们的振动步调一致解析它们的振幅分别是4cm、5cm，故不同；ω都是100πrad/s，所以周期(T＝)都是s；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差(为)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致.二、对简谐运动的表达式的理解π3π62πω150π3π6π6π6BC返回课堂要点小结自我检测区12341.(对简谐运动的图像的理解)关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是()A.表示质点振动的轨迹，是正弦或余弦曲线B.由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移方向C.表示质点的位移随时间变化的规律D.由图像可判断任一时刻质点的速度方向解析振动图像表示质点的位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由图像可以判断某时刻质点的位移和速度方向，B、D正确.1234BCD2.(对简谐运动的图像的理解)如图5所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是()A.在第1s内，质点速度逐渐增大B.在第1s内，质点加速度逐渐增大C.在第1s内，质点的回复力逐渐增大D.在第4s内质点的动能逐渐增大E.在第4s内质点的势能逐渐增大F.在第4s内质点的机械能逐渐增大1234图5解析在第1s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒.答案BCD12343.(简谐运动的表达式)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin(100t＋)m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin(100t＋)m.比较A、B的运动()A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB.周期是标量，A、B周期相等为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fBD.A的相位始终超前B的相位1234π2π6解析振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别为3m、5m，A错；A、B的周期T＝s＝6.28×10－2s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ=D对.答案CD12342πω＝2π100π2－π6＝π3，4.(简谐运动的图像与表达式)根据如图6所示的某振子的振动图像，完成下列各题：图6(1)算出下列时刻振子相对平衡位置的位移.①t1＝0.5s；②t2＝1.5s.(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位的大小.12341234解析(1)由题图知，x＝Acosωt＝10cos(2π4t)cm＝10cosπt2cm，则t1＝0.5s时，x1＝52cm；t2＝1.5s时，x2＝－52cm.(2)x＝10sin(π2t＋π2)cm，初相位φ＝π2.答案(1)52cm－52cm(2)x＝10sinπ2t＋π2cmπ2