与三角形四心相关的向量结论

与三角形“四心”相关的向量结论濮阳市华龙区高中张杰随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时，能引起一些启示。问题：设点O在ABC内部，且有03OCOBOA，则BOC与AOC的面积的比值是____.分析：∵03OCOBOA设ODOB3，则0OCODOA，则点O为ADC的重心.∴ACDAODCOADOCSSSS31.而AOCCODBOCSSS3131，∴31:COABOCSS.探究：实际上，可以将上述结论加以推广，即可得此题的本源。结论：设O点在ABC内部，若RrnmOCrOBnOAm,,0，则rnmSSSAOBCOABOC::::证明：已知O点在ABC内部，且RrnmOCrOBnOAm,,0设：OFOCrOEOBnODOAm,,，则点O为△DEF的重心，又EOFBOCSnrS1，DOFAOCSmrS1，DOEAOBSmnS1，∴rnmSSSAOBCOABOC::::说明:此结论说明当点O在ABC内部时，点O把ABC所分成的三个小三角形的面积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相对应的顶点的三个向量所组成的线性关系式前面的系数之比。应用举例：设点O在ABC内部，且40OAOBOC，则ABC的面积与OBC的面积之比是：A．2：1B．3：1C．4：3D．3：2分析：由上述结论易得：1:1:4::AOBCOABOCSSS，所以2:34:6:OBCABCSS，故选D当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设O点在ABC内部，且角CBA,,所对应的边分别为cba,,结论1：若O为ABC重心，则0OCOBOA分析：重心在三角形的内部，且重心把ABC的面积三等分.结论2：O为ABC内心，则0OCcOBbOAa分析：内心在三角形的内部，且易证S△BOC：S△COA：S△AOB=cba::结论3：O为ABC的外心，则02sin2sin2sinOCCOBBOAA分析：易证S△BOC：S△COA：S△AOB=sin2A：sin2B：sin2C.22BCtBCABsBCAOABBCtABsABAO由结论3及结论：O为ABC的外心，H为ABC的垂心，则OCOBOAOH可得结论4。结论4：若H为ABC垂心，则HAACB2sin2sin2sinHBBCA2sin2sin2sin02sin2sin2sinHCCBA即0coscossincoscossincoscossinHCBACHBCABHACBA证明：∵对任意ABC有OCOBOAOH，其中O为外心，H为垂心，∴OCOBHA，OCOAHBOAOBHC则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数zyx,,，使得0HCzHByHAx，即0OCyxOBxzOAzy，由结论3得：02sin2sin2sinOCCOBBOAA所以有：CyxBxzAzy2sin2sin2sin，CBAzBACyACBx2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin2sin所以可得：HAACB2sin2sin2sinHBBCA2sin2sin2sin02sin2sin2sinHCCBA化简后可得：0coscossincoscossincoscossinHCBACHBCABHACBA应用举例：例1：已知O为ABC的内心，且0432OCOBOA，则角A的余弦值为。分析：由结论2可得4:3:2::cba，所以由余弦定理可得：874324916cosA例2：已知ABC的三边长为2,6,1CABCAB，设ABC的外心为O，若BCtABsAO，求实数ts,的值。分析：OCBOtOBAOsAO，整理后即得：OCstOBstsOA11.由结论3可得：ACstABsts2sin2sin12sin2sin1，又易得161532sin,4152sin,8152sinCBA，∴.53,57ts点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组：解方程组可得结果。例3：设H是ABC的垂心，当6,5BCACAB时，BCnABmAH，求实数nm的值.分析：由结论4可得：0coscossincoscossincoscossinHCBACHBCABHACBA.而CB，整理后得：0coscoscos1HCAHBAHAA由BCnABmAH，可得01HCnHBnmHAm，∴AAmnmnmcos1cos11.而257552362525cosA，解得327,3214nm，∴3221nm.点评：此题的通用解法应该是仿例2的点评，构造与基底相关的方程组。通过这样的思考、探究，不仅得到了与三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助，正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。