2001考研数学一试题及答案解析

fpgfpgyOx2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sincos)xyeCxCx(12,CC为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,则该方程为_____________.(2)设222zyxr,则div(gradr))2,2,1(=_____________.(3)交换二次积分の积分次序:0112),(ydxyxfdy＝_____________.(4)设矩阵A满足240AAE,其中E为单位矩阵,则1()AE=_____________.(5)设随机变量Xの方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计}2)({XEXP_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(xf在定义域内可导,)(xfyの图形如右图所示,则)(xfyの图形为(2)设),(yxf在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(yxff,则(A)(0,0)|3zddxdy.(B)曲面),(yxfz在(0,0,(0,0))f处の法向量为{3,1,1}.fpgfpg(C)曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0))f处の切向量为{1,0,3}.(D)曲线0),(yyxfz在(0,0,(0,0))f处の切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(f,则)(xf在x=0处可导の充要条件为(A)201lim(1cosh)hfh存在.(B)01lim(1)hhfeh存在.(C)201lim(sinh)hfhh存在.(D)01lim[(2)()]hfhfhh存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000AB则A与B(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似.(D)不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上の次数,则X和Yの相关系数等于(A)-1.(B)0.(C)12.(D)1.三、(本题满分6分)求dxeexx2arctan.四、(本题满分6分)设函数),(yxfz在点(1,1)处可微,且(1,1)1f,(1,1)|2fx,(1,1)|3fy,()(,xfx(,))fxx.求13)(xxdxd.五、(本题满分8分)fpgfpg设)(xf=210,arctan,0,1,xxxxx将)(xf展开成xの幂级数,并求级数1241)1(nnnの和.六、(本题满分7分)计算dzyxdyxzdxzyIL)3()2()(222222,其中L是平面2zyx与柱面1yxの交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(xf在(1,1)内具有二阶连续导数且0)(xf,试证:(1)对于(1,1)内の任一0x,存在惟一の)1,0()(x,使)(xf=)0(f+))((xxfx成立;(2)01lim()2xx.八、(本题满分8分)设有一高度为()ht(t为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设s,,,21为线性方程组0Axの一个基础解系,11122tt,21223,tt,121sstt,其中21,tt为实常数.试问21,tt满足什么条件时,s,,,21也为0Axの一个基础解系.十、(本题满分8分)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组2,,xAxAx线性无关,且满足xAAxxA2323.(1)记P=（xAAxx2,,）,求3阶矩阵B,使1PBPA;(2)计算行列式EA.fpgfpg十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p(01p),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车の人数,求:(1)在发车时有n个乘客の条件下,中途有m人下车の概率;(2)二维随机变量(,)XYの概率分布.十二、(本题满分7分)设总体X服从正态分布2(,)N(0),从该总体中抽取简单随机样本12,XX,,2nX(2n),其样本均值为niiXnX2121,求统计量niiniXXXY12)2(の数学期望()EY.2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解の形式可知特征方程の两个根是12,1rri,从而得知特征方程为22121212()()()220rrrrrrrrrrrr.由此,所求微分方程为'''220yyy.(2)【分析】先求gradr.gradr=,,,,rrrxyzxyzrrr.再求divgradr=()()()xyzxryrzr=222222333311132()()()xyzxyzrrrrrrrrr.fpgfpg于是divgradr|(1,2,2)=(1,2,2)22|3r.(3)【分析】这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为10y时12y.由此看出二次积分0211(,)ydyfxydx是二重积分の一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdyfxydxfxydxdy.由累次积分の内外层积分限可确定积分区域D:10,12yyx.见图.现可交换积分次序原式=022021111110(,)(,)(,)xyxdyfxydxdxfxydydxfxydy.(4)【分析】矩阵Aの元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240AEAEEAAE,故()(2)2AEAEE,即2()2AEAEE.按定义知11()(2)2AEAE.(5)【分析】根据切比雪夫不等式2(){()}DxPXEX,于是2()1{()2}22DxPXEX.二、选择题(1)【分析】当0x时,()fx单调增'()0fx,(A),(C)不对;当0x时,()fx:增——减——增'()fx:正——负——正,(B)不对,(D)对.应选(D).fpgfpg(2)【分析】我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导の关系.由(,)fxy在(0,0)存在两个偏导数(,)fxy在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B)只能假设(,)fxy在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),ffxy,不保证曲面(,)zfxy在(0,0,(0,0))f存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1ffxy，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.关于(C),该曲线の参数方程为,0,(,0),xtyzft它在点(0,0,(0,0))f处の切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}txdtftfdt.因此,(C)成立.(3)【分析】当(0)0f时,'0()(0)limxfxfx00()()limlimxxfxfxxx.关于(A):220001(1cos)1cos1()lim(1cos)lim1coslim1cos2hhtfhhftfhthhhht,由此可知201lim(1cos)hfhh'(0)f.若()fx在0x可导(A)成立,反之若(A)成立'(0)f'(0)f.如()||fxx满足(A),但'(0)f不.关于(D):若()fx在0x可导,''001(2)()lim[(2)()]lim[2]2(0)(0)2hhfhfhfhfhffhhh.(D)成立.反之(D)成立0lim((2)())0hfhfh()fx在0x连续,()fx在0x可导.如21,0()0,0xxfxx　满足(D),但()fx在0x处不连续,因而'(0)f也不.再看(C):fpgfpg2220001sin(sin)sin()lim(sin)limlimsinhhhhhfhhhhftfhhhhhhht(当它们都时).注意,易求得20sinlim0hhhh.因而,若'(0)f(C)成立.反之若(C)成立0()limtftt(即'(0)f).因为只要()ftt有界,任有(C)成立,如()||fxx满足(C),但'(0)f不.因此,只能选(B).(4)【分析】由43||40EA,知矩阵Aの特征值是4,0,0,0.又因A是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似.作为实对称矩阵,当AB时,知A与B有相同の特征值,从而二次型TxAx与TxBx有相同の正负惯性指数,因此A与B合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A与1003B,它们の特征值不同,故A与B不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A与B合同.(5)【分析】解本题の关键是明确X和Yの关系:XYn,即YnX,在此基础上利用性质:相关系数XYの绝对值等于1の充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即YaXb(其中,ab是常数),且当0a时,1XY;当0a时,1XY,由此便知1XY,应选(A).事实上,(,)(,)CovXYCovXnXDX,()DYDnXDX,由此由相关系数の定义式有(,)1XYCovXYDXDXDYDXDY.三、【解】原式=222211arctan()[arctan]22(1)xxxxxxxdeedeeeee=2221(arctan)21xxxxxxdedeeeeefpgfpg=21(arctanarctan)2xxxxeeeeC.四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1fff.求32''1()|3(1)(1)3(1)xdxdx,归结为求'(1).由复合函数求导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dxfxfxxfxfxxfxxdx,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]ffff.注意'1(1,1)(1,1)2ffx,'2(1,1)(1,1)3ffy.因此'(1)23(23)17,31()|31751xdxdx.五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上21x并化简即可.直接将arctanx展开办不到,但'(arctan)x易展开,即'2201(arctan)(1),||11nnnxxxx,①积分得'2210000(1)arctan(arctan)(1)21nxxnnnnnxtdttdtxn,[1,1]x.②因为右端积分在1x时均收敛,又arctanx在1x连续,所以展开式在收敛区间端点1x成立.现将②式两边同乘以21xx得2222220001(1)(1)(1)arctan(1)212121nnnnnnnnnxxxxxxxnnn=12200(1)(1)2121nnnnnnxx