复习菱形的性质与判定

菱形的性质与判定（复习）1．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（1）菱形是平行四边形．（2）一组邻边相等菱形性质定理2：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．如图：四边形ABCD是菱形，对角线的交点为OABCDO(1)AC⊥BD(2)AC平分∠DAB和∠DCBBD平分∠ADC和∠ABC菱形的性质定理1：、菱形的四条边都相等AB=BC=CD=AD∴菱形的周长=边长×4菱形的面积ab菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半即：如果菱形的两条对角线长分别为a、b；则菱形的面积：S=ab21例1、已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为4cm和3cm,求菱形ABCD的周长和面积.ABCDO解：菱形ABCD的面积为S=×4×3=6cm221在直角三角形OAB中，OA=4÷2=2OB=3÷2=1.5AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25(勾股定理)从而AB=2.5cm菱形ABCD的周长为:4×2.5=10cm归纳菱形常用的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.对角线互相垂直平分的四边形是菱形.有四条边相等的四边形是菱形.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形也就说，正方形既是特殊的菱形也是特殊的矩形。•正方形的性质：•1、正方形的四条边相等，四个角都是直角。•2、正方形的对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。•3、正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。•4、正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴。例题精析DOACB⒉菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．⑴求菱形ABCD的对角线的长；⑵求菱形ABCD的面积．例题精析⒊菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点．EF与AC有什么关系？为什么？FECABD连结BD，则AC⊥BD∵EF是三角形BCD的中位线∴EF∥BD∴AC⊥EF一展身手⒈在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（）A.75°B.60°C.45°D.30°FECABDB一展身手⒉菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（）A.10cmB.7cmC.5cmD.4cmC例：如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB,AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）它的周长为多少？ABCFDE123证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2∵DE∥AC，∠2=∠3∴∠1=∠3∴AE=DE∴四边形AEDF是菱形它的周长：5×4=202、如图：在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AD=DC=AB，则四边形ABCD是菱形吗？说明你的理由。ABCD解：是菱形AC平分∠BAD，∴∠1=∠2又AD=DC∴∠2=∠3∴∠1=∠3∴AB∥CDAB=CD四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又AD=DC四边形ABCD是菱形1233、在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，OB=OD，∠BAO=∠DCO，（1）求证：四边形ABCD是平行四边形（2）把线段AC绕点O顺时针旋转，使AC⊥BD，这时四边形ABCD是什么四边形？说明理由。（3）在（2），当AC⊥BD后，又使得OA=OD，这时四边形ABCD是什么四边形？说明理由。ABCDOADCBEFM如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M。求证：AE=BF