计算流体力学课程大作业

1/12《计算流体力学》课程大作业——基于涡量-流函数法的不可压缩方腔驱动流问题数值模拟张伊哲航博1011、引言和综述2、问题的提出，怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式3、程序说明4、计算结果和讨论5、结论1引言虽然不可压缩流动的控制方程从形式上看更为简单，但实际上，目前不可压缩流动的数值方法远远不如可压缩流动的数值方法成熟。考虑不可压缩流动的N-S方程：01()PtUUUUfU(1.1)其中是运动粘性系数，认为是常数。将方程组写成无量纲的形式：01()RePtUUUUfU(1.2)其中Re是雷诺数。从数学角度看，不可压缩流动的控制方程中不含有密度对时间的偏导数项，方程表现出椭圆-抛物组合型的特点；从物理意义上看，在不可压缩流动中，压力这一物理量的波动具有无穷大的传播速度，它瞬间传遍全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何位置满足，这就是椭圆型方程的物理意义。这就造成不可压缩的N-S方程不能使用比较成熟的发展型．．．偏微分方程的数值求解理论和方法。如果将动量方程和连续性方程完全耦合求解，即使使用显示的离散格式，也将会得到一个刚性很强的、庞大的稀疏线性方程组，计算量巨大，更重要的问题是不易收敛。因此，实际应用中，通常都必须将连续方程和动量方程在一定程度上解耦。目前，求解不可压缩流动的方法主要有涡量-流函数法，SIMPLE法及其衍生的改进方法，有限元法，谱方法等，这些方法各有优缺点。其中涡量-流函数法是解决二维不可压缩流动的有效方法。作者本学期学习了研究生计算流体课程，为了熟悉计算流体的基本方法，选择使用涡量-流函数法计算不可压缩方腔驱动流问题，并且对于不同雷诺数下的解进行比较和分析，得出一些结论。本文接下来的内容安排为：第2节提出不可压缩方腔驱动流问题，并分析该问题怎样使用涡量-流函数方法建立差分格式、选择边界条件。第3节介绍程序的结构。第4节对于不同雷诺数下的计算结果进行分析，并且与U.GHIA等人【1】的经典结论进行对比，评述本2/12文所采用的计算方法。第五节给出结论。2问题的提出和分析2.1经典方腔驱动流问题考虑如下图所示的长度为1的正方形腔体，腔体上有一平板以速度U=1运动，其它三边为固壁条件。图1.方腔驱动流示意图顶盖方腔驱动流问题是个很经典的问题，常常用于验证不可压缩流动数值方法的正确性。U.GHIA等人于1982年发表的一篇文献（见文献【1】）计算了Re从100到410的流动结果，其结果得到广泛的认同。2.2涡量-流函数方法简介涡量-流函数法的基本思想是引入涡量和流函数：引入涡量，可以消去方程中的压力项，而引入流函数，可以使连续方程自然满足。下面对该方法进行简单推导：考虑二维问题，将式(1.2)写成分量形式：222222220(1.3)1(1.4)Re1(1.5)ReuvttuuuPuuuvtxyxxyvvvPvvuvtxyyxy式(1.4)对y求偏导数减去式(1.5)对x求偏导数，考虑到=uvyx，推导出涡量满足3/12的方程为22221Reuvtxyxy(1.6)然后引入流函数，定义为,vuxy(1.7)可见，连续性方程(1.3)自然成立。与的关系为2222xy(1.8)式(1.6)~(1.8)构成了一个封闭的方程组，由(1.6)计算出涡量，再由(1.8)式计算出流函数，利用(1.7)式计算出速度。这个方程组的特点是求解速度的时候完全不用考虑压力项。若还需要求解压力场，则可以把式(1.4)对x求偏导数，式式(1.5)对y求偏导数，二者求和后整理得到关于压力的Poisson方程2222uuvvPxyxy(1.9)以上推导出的涡量-流函数法在计算二维问题时很成功，但是三维流动的流函数没有直观的物理意义，无法像二维流动一样直接定义，需要引入多个流函数，相应解多个Poisson方程，计算量很大，并不实用。对于本文的二维问题，该方法就简单易行。2.3建立差分格式2.3.1划分网格方腔驱动流的流动区域很简单，均匀划分为正方形的结构网格即可，存储网格时，x方向使用标号i表示，y方向使用标号j表示，x和y方向的最大网格点标号分别为M和N。对于Re小于等于1000的情况，使用100*100网格，Re大于1000后的情况，使用256*256网格。计算域如图2所示：图2.100*100的均分网格4/122.3.2建立差分方程由于本题关注的是方腔内部的流动状态，对于压力分布不关心，因此不用建立压力的差分方程。涡量的对流扩散方程(1.6)使用FTCS格式离散得到：1,,1,1,,1,1,,1,,1,,1,,12222221()Re()()nnnnnnijijijijijijnnijijnnnnnnijijijijijijuvtxyxy(1.10)该差分格式时间方向为1阶精度，空间方向为2阶精度。在(1.10)中，速度分量取的是n时刻的值，已经对方程进行了线性化处理。流函数的Poisson方程中，二阶导数都用中心差分离散：1111111,,1,,1,,11,2222nnnnnnijijijijijijnijxy(1.11)这种中心差分可达到二阶精度。2.3.3设定边界条件（1）速度和流函数的边界条件由于沿着壁面是一条流线，所以流函数在边界是常值，可以取为0；速度在边界满足无滑移条件。上边界（0~,iMjN）：,,1,0iNiNuUv；,0iN下边界（0~,0iMj）：,0,00,0iiuv；,00i左边界（1~1,0jNi）：0,0,0,0jjuv；0,0j右边界（1~1,jNiM）：,,0,0MjMjuv；,0Mj（2）涡量的边界条件根据涡量的定义=uvyx，在上下边界，0vx，所以22=uyy；在左右边界，0uy，所以22=vxx。；左边界（1~1,0jNi）：1,0,1,0,22=,jjjjx这里引入了虚拟网格点（-1,j），5/12注意到0,1,1,0,002jjjjux，所以1,0,22=jjx。同理可得，右边界（1~1,jNiM）：1,,22=MjMjx下边界（0~,0iMj）：,1,022=iiy上边界（0~,iMjN）：注意到,,1,1,012iNiNiNiNuy，所以,1,222=iNiNyy下面考察构造的这种涡量边界条件的精度：比如对于下边界，流函数的Taylor展开为22334,1,023(,0)(,0)(,0)22334,1,023(,0)(,0)(,0)()2!3!()2!3!iiiiiiiiiiyyyOyyyyyyyOyyyy则42,1,0,1,1,0,12222(,0)2()2()iiiiiiiOyOyyyy对于其他边界的精度推导是类似的。所以构造的这种涡量边界条件很有优势——不仅形式简单，还能有2阶精度。3编程计算3.1程序的结构程序流程图如下图所示：6/12图3.流程图设定速度和流函数的边界条件设定涡量、流函数和速度的初始值主程序开始Cfd_driven.f90.定义变量调用compute_node划分网格，计算节点坐标根据流函数的值更新涡量边界条件，调用函数compute_omiga计算涡量场根据计算出的涡量场，调用函数compute_fai计算流函数场根据计算出的流函数场，调用函数compute_speed计算速度场是否收敛？（根据相邻两次速度场之1-范数）输出结果程序结束是否7/123.2程序说明时间步长选择0.001，足以满足稳定性条件。1、对于涡量场的计算：根据差分方程1,,1,1,,1,11,,1,,1,,1,,22221()22Re()()nnnnnnnnnnnnijijijijijijijijijijijijnnijijuvtxyxy该式中，速度分量取的是n时刻的值，已经对方程进行了线性化处理。所以直接使用显示法，一步就可以将1,nij求出。1,,1,,1,,1,,11,1,,1,1,,22221()Re()()22nnijijnnnnnnnnnnijijijijijijijijijijnnijijtuvxyxy（1.12）2、对于流函数场的计算：流函数满足泊松方程，差分形式为：1111111,,1,,1,,11,2222nnnnnnijijijijijijnijxy求解时要使用JACOBI迭代，由于xy，可以写成1,(1)1,()1,()1,()1,()21,1,1,,1,1,14nknknknknknijijijijijijh其中（k+1）表示第k+1次迭代，当1n+1,(k+1)n+1,(k)ψψ时，认为精度达到，退出迭代。将此时的n+1,(k+1)ψ作为n+1时刻的流函数场n+1ψ。3、速度场的求解由于,vuxy，所以,1,11,1,,22ijijijijuvyx8/124结果分析图4是Re=100,400,1000,3200,5000,7500,10000时的流线图,每个雷诺数中，上图是本文计算的图，下图是文献1中的结果。与文献中图形进行比较，流线图很相似，计算结果是可信的。从图4中看出，方腔驱动流中，Re=100，400,1000时，只在左右两个下角落出现二次涡，Re=3200时，在靠近顶盖（注意不是在顶盖上）的左边壁面又出现了一个二次涡，Re=7500时，右边的下角落存在两个二次涡,所有二次涡的强度都随着Re增大而增大。中央主涡的中心当Re=100时偏向右上方，随着Re增大逐渐移动到方腔的几何中心上，当Re=3200也就是当左边壁面出现二次涡之后，主涡的中心几乎保持不变。可以预测，当Re接着增大，在现有二次涡的地方会出现更多的二次涡。(a)Re=100(b)Re=400(c)Re=10009/12(d)Re=3200(e)Re=5000(f)Re=7500(d)Re=1e4（右图出自文献1）图4.不同Re时的流线图图5显示了不同Re数中，在通过方腔几何中心的竖直线上速度u的分布情况，从图5中看出，随着Re增大，边界层越来越薄，Re5000后，边界层变薄的速率就很小了。高Re数时，方腔中部的速度分布几乎是线性的。Re3200时，在靠近y=1处，u的分布会出现一个小凸起，这个现象也被之前的文献提到过。10/12图5.不同Re时过方腔几何中心的竖直线上u的分布图6显示了Re=100，400，1000，5000,10000时，文献1中计算出的竖直中心线上u的分布和本文计算的结果，其中，Re=100，400，1000时，本文使用100*100均分网格，文献1使用129*129优化网格；Re=5000和10000时，本文使用257*257均分网格，文献1使用257*257优化网格。可见，当Re比较低的时候，本文的计算是很准确的；当Re增加至5000，即使将网格增加至257*257，仍然存在较大误差