数列求和的基本方法和技巧与大题

1数列求和的基本方法和技巧一、分组法求和1、已知312nnan，求前n项和nS.2、已知12nnan，求前n项和nS.二、裂项法求和（1）111)1(1nnnnan（2）1111()()nannkknnk1、求数列,11,,321,211nn的前n项和.22、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.3、求和n321132112111.4、已知在等差数列{}na中，345,16aS。（1）求{}na的通项公式；（2）记11nnnbaa，求{}nb的前n项和。3三、错位相减法求和1、已知3nnan，求前n项和nS.2、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.3、已知(21)3nnan，求前n项和nS.4四、倒序相加法求和1、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值五、利用常用求和公式求和1、已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.2、设123nSn,*nN,求1)32()(nnSnSnf的最大值.3、求11111111111个n之和.5数列大题专题训练1、设{}na是公比为正数的等比数列，1322,4aaa.(Ⅰ)求{}na的通项公式;(Ⅱ)设{}nb是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}nnab的前n项和nS.2、设等差数列na满足35a，109a。（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求na的前n项和nS及使得nS最大的序号n的值。3、已知等差数列{}na中，a1＝1，a3＝－3。（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}na的前k项和Sk＝－35，求k的值。64、成等差数列的三个正数的和为15，且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列nb中的3b、4b、5b。(I)求数列nb的通项公式；(II)数列nb的前n项和为nS，求证：数列54nS是等比数列。5、等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa（Ⅰ)求数列na的通项公式；（Ⅱ）设31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前n项和.6、设等比数列na的前n项和为nS,已知26,a13630,aa求na和nS。77、已知等比数列{}na的公比3q，前3项和3133S．(Ⅰ)求数列{}na的通项公式；(Ⅱ)若函数()sin(2)(0,0)fxAxA在6x处取得最大值，且最大值为3a，求函数()fx的解析式．8、已知等差数列{}na满足20a，6810aa。（I）求数列{}na的通项公式；（II）求数列12nna的前n项和．8参考答案1、解：(Ⅰ)设等比数列的公比为,0qq，由已知得2224qq，即2q或1q（舍去），所以数列的通项公式为2nna；(Ⅱ)1222nnSn。2、解：（Ⅰ）由1(1)naand及35a，109a得19,2ad；所以数列na的通项公式为112nan（Ⅱ）2210(5)25nSnnn，所以5n时nS取得最大值。3、解：（Ⅰ）由a1＝1，a3＝－3得2d，所以an＝3－2n；（Ⅱ）(1)35kSkkk，解得k＝7。4、解：(I)设成等差数列的三个正数分别为,,adaad；则155adaada；数列nb中的3b、4b、5b依次为7,10,18dd，则(7)(18)100dd；得2d或13d（舍），于是3345,1052nnbbb(II)数列nb的前n项和25524nnS，即11225552452254524nnnnnnSSS因此数列54nS是公比为2的等比数列。5、解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q。由条件可知a0,故13q。由12231aa得12231aaq，所以113a。故数列{an}的通项式为an=13n。（Ⅱ）31323nloglog...lognbaaa=(1)(12)2nnn故12112()(1)1nbnnnn12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn9所以数列1{}nb的前n项和为21nn6、解：设等比数列na的公比为q，由题12116,630,aqaaq解得113,2,2,3.aaqq或所以如果13,a则111=32.nnnaaq1(1)=3231nnnaqSq如果12,a则111=23.nnnaaq1(1)=311nnnaqSq7、解：(Ⅰ)由3133,3qS得113a，所以23nna；(Ⅱ)由(Ⅰ)得33a，因为函数()fx最大值为3，所以3A，又当6x时函数()fx取得最大值，所以sin()13，因为0，故6，所以函数()fx的解析式为()3sin(2)6fxx。8、解：（I）设等差数列{}na的公差为d，由已知条件可得110,21210,adad解得11,1.ad故数列{}na的通项公式为2.nan………………5分（II）设数列1{}2nnnanS的前项和为，即2111,122nnnaaSaS故，12.2242nnnSaaa所以，当1n时，211112222nnnnnnSaaaaaa111121()2422nnn1121(1)22nnn所以1.2nnnS综上，数列11{}.22nnnnannS的前项和………………12分