偏导数及其经济应用

1§8.2偏导数及其经济应用教学目的：理解并掌握偏导数概念，能正确求出所给函数的偏导数和高阶偏导数．了解偏导数的几何意义．了解偏导数在经济分析中的应用．重点：正确求出所给函数的偏导数与高阶偏导数．难点：分清常量与变量，正确运用一元函数导数公式求函数的偏导数．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：一、偏导数的定义及其计算方法1.二元函数(,)zfxy的全增量（全改变量）(,)(,)zfxxyyfxy.二元函数对x的偏增量（偏改变量）(,)(,)xzfxxyfxy.二元函数对y的偏增量(,)(,)yzfxyyfxy.2.二元函数偏导数的定义【定义8.4】设函数(,)zfxy在点00(,)xy的某一邻域内有定义，若一元函数0(,)fxy在0xx处存在导数00(,)xfxy,则称00(,)xfxy为(,)fxy在点00(,)xy处对x的偏导数，并记作00xxyyzx，00xxyyfx，00xxxyyz或00(,)xfxy.其中00(,)xfxy000000(,)(,)limlimxxxfxxyfxyzxx.(2)类似可定义函数(,)zfxy在点00(,)xy处对y的偏导数:00xxyyzy00(,)yfxy2000000(,)(,)limlimyyyzfxyyfxyyy结论(1)当(,)fxy在点00(,)xy处同时存在对x，y的偏导数时，简称(,)fxy在点00(,)xy可偏导.(2)当(,)fxy在平面某一区域D内每一点(,)xy处都存在对x，y的偏导数时，则称函数在该区域D内有偏导函数，记作,,,zzfxyx(,),(,),,xyxyfxyfxyzz也简称偏导数．3.多元函数偏导数的定义设0()()UPDf,若一元函数000001211(,,,,,,)kkknfxxxxxx在0kkxx处存在极00000000001111110(,,,,,)(,,,,,)limkkkkknkkknxkfxxxxxxfxxxxxx,则称此极限为()ufP在点000012(,,,)nPxxx处对kx的偏导数，并记作0kPPux，0kPPfx，0kxPPu或0()kxfP.提问：用定义表示三元函数(,,)fxyz在点000(,,)xyz处的三个偏导数.0000000000(,,)(,,)(,,)limxxfxxyzfxyzfxyzx；0000000000(,,)(,,)(,,)limyyfxyyzfxyzfxyzy；0000000000(,,)(,,)(,,)limzzfxyzzfxyzfxyzz.结论：多元函数求偏导数时，只将一个变量看作未知量，而其余变量均看作常量，按照一元函数求导数的法则求导数即是.即将12(,,,)nfxxx中所有()jxjk看作常量而对3kx求导可得kfx.4.偏导数函数设区域)(fDD,若(,)zfxy在D内每一点P对(xy或的偏导数(,)xfxy或(,)yfxy都存在,那么(,)xfxy或(,)yfxy就称为(,)zfxy对(xy或的偏导函数，（它仍是,xy的函数）.记作ux，（或uy）fx（或fy），xu（或yu）或()xfP（或()yfP）.可见,函数()xfP在0PP处的值为偏导数0()xfP.以后在不混淆的情况下,将偏导函数()xfP也称为偏导数.例1(1)求223zxxyy在点(1,2)处的偏导数．分析：二元函数的偏导数①将),(yxf中的y看作常量而对x求导可得xf.②将),(yxf中的x看作常量而对y求导可得yf.解23zxyx,32zxyy．1221328xyzx,1231227xyzy．(2)2sinzxy，则(2,)6|zx，(2,)6|zy.(2,)(2,)66|2,|23zzxy.(3)（09.3.4）设()yxzxe，则(1,0)|zx4ln()()[ln()]yxxeyxyyzxexexexxxeln2(1,0)1|(ln2)2ln212zex.例2求下列函数的偏导数（注意复合函数求导法则:层层求导，导数相乘的含义）(1)求2sin(2)zxy．解)2sin(2yxxz,)2cos(22yxyz．（2）2(,)xyfxye解222(,),(,)2xyxyxyfxyyefxyxye．（3）设2()2yzxyx，其中()u可微，求,xyzz解22(),()2xyyyzyxyzxxyxx（4）222uxyz（考虑两层复合的函数）解222222,xyxyuuxyzxyz,222zzuxyz.（5）lntanyzx（考虑三层复合的函数ln,tan,yzuuvvx）解22221sec()tsectanxyyyyyzcoyxxxxxx21tsecyyyzcoxxx．5（6）()zxuy解()zzzxuyxy，1()zzzxxzuzyxyx()zyxzuyy，()lnzzxxuyy．（7）210(,)()xyxyFxyfsdsedx解(,)(),(,)()()xyFxyyfxyFxyxfxyfy．提问（2012-2-4-11）设1(ln)zfxy，其中()fu可微，则2zzxyxy.提示：21111(ln);(ln)zzfxfxxxyyyy，20zzxyxy.练习：（1）(1)xzxy提示：ln(1)(1)xxxyzxye．（2）设函数2201(.)1xyxyxfxydtedyt，求偏导数,ffxy.6提示：2333331,111xfyfxexyxyxxy.（3）(95.3)设)(xyxyfz,)(uf可导,则yxzyzx.提示2()xyyxzyzxyfx.提问:二元函数(,)zfxy的两个偏导数存在,且0zx,0zy，则【】.(A)(,)fxy关于x是减函数，关于y是增函数；(B)(,)fxy关于x是增函数，关于y是增函数；(C)(,)fxy关于x是增函数，关于y是增函数；(D)(,)fxy关于x是增函数，关于y是减函数.答(D).因为0xz表示当y保持不变时,),(yxf是x的单调增加函数0yz表示当x保持不变时,),(yxf是y的单调减少函数.例3设yzx(0,1)xx，求证12lnxzzzyxxy.证明因1yyxxz,xxyzyln,所以xxxyxyxyzxxzyxyylnln1ln11yyxxz2例4已知理想气体的状态方程pVRT(R为常数),求证:1pVTVTp.7证明因RTpV2pRTVV,pRTVpRTV,RpVTRVpT.所以21pVTRTRVRTVTpVpRpV.二、偏导数存在与函数连续的关系函数(,)zfxy在一点00(,)xy的偏导数存在时并不一定在该点连续，但在点00(,)xy对x的偏导数存在，(,)zfxy一定关于x是连续函数，同样函数(,)zfxy在一点00(,)xy对y的偏导数存在，(,)zfxy一定关于y是连续函数.并且有关于一元函数的增减性.偏导数与连续的关系（1）一元函数在某点可导连续，（2）多元函数中在某点偏导数存在连续.例如:设10,0,(,),0.xyfxyxy由于00xyfx00(0,0)(0,0)11limlim0xxfxfxx,00xyfy00(0,0)(0,0)11limlim0yyfyfyy.即(,)fxy在(0,0)点两个偏导数都存在,但(,)fxy在(0,0)点显然间断．因为(,)(0,0)lim(,)0(0,0)1xyfxyf.8又如，((220,,)(0,0)(,),,)(0,0)xyfxyxyxyxy在点(0,0)处两个偏导数均存在且为0，（用下列方法可求）00xyfx220000(0,0)(0,0)0limlim0xxxfxfxxx,但是(,)fxy在(0,0)点不连续，因为222222(,)(0,0)00lim(,)limlim(1)1xyxxykxxykxkfxyxyxkk极限不存在.结论：多元函数偏导数存在与连续没有必然关系.三、二元函数偏导数的几何意义偏导数),(00yxfx就是曲面被平面0yy所截得的曲线在点0M处的切线xTM0对x轴的斜率.偏导数),(00yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴的斜率.),(0yxfzOxz0MyTxTy),(0yxfz9提问：是否存在一个函数(,)fxy，使得4xfxy，3yfxy？（分析：21(,)4()2xfxyfdxxxyy4()3yfxyxy，所以这样的(,)fxy不存在.）四、高阶偏导数1.高阶偏导数:(,)zfxy偏导函数(,)xfxy，(,)yfxy还是,xy的函数，若(,)xfxy，(,)yfxy在区域D内对,xy存在有偏导数,则称此偏导数为),(yxfz的二阶偏导数,并记作22(,)xxzzfxyxxx,2(,)xyzzfxyxyyx,22(,)yyzzfxyyyy，2(,)yxzzfxyyxxy,同理有3232zzxxx,3222zzxyyx等等.2.【定理】如果函数(,)zfxy的两个二阶混合偏导(,)xyfxy，(,)yxfxy在区域D内连续，则在该区域内必(,)xyfxy(,)yxfxy.二阶混合偏导数在连续情况下与求导数的顺序无关.此性质可以推广到高阶混合偏导数.例5设32331zxyxyxy,于是22333zxyyyx，3229zxyxyxy；102226zxyx，232218zxxyy；222691zxyyxy,222691zxyyyx.例6求函数arctanxzy的二阶偏导数.解222111()xyzxyxyy，22yxzxy222222()()xxyxyzxxyxy，2222222()()xyyxyxyzzyxyxy，222222()()yyxxyzyxyxy．练习:求函数2yzxye的二阶偏导数.解22,(1)yyxyzxyezxey;22,2(1),(2)yyyxxxyyxyyzyezxeyzzxey.例7(05.8)设()fu具有二阶连续导数，且(,)()()yxgxyfyfxy,求222222ggxyxy.解由条件知)()(2yxfxyfxyxg,)(1)()(242322yxfyxyfxyxyfxyxg,)()()(1yxfyxyxfxyfxyg22222231()()()()gyxxxxxxffffyxxyyyyyy112231()()yxxffxxyy故2222