弯曲变形

1弯曲变形第七章2§7-1概述3§7-1概述4§7-1概述5§7-2挠曲线的近似微分方程1.基本概念挠曲线方程：)(xyy由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计挠度转角关系为：dxdytan挠曲线yxxy挠度转角挠度：y向上为正转角：逆钟向为正62.挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：zEIMρ1忽略剪力对变形的影响zEIxMx)()(1§7-2挠曲线的近似微分方程7由数学知识可知：3222])(1[1dxdydxyd略去高阶小量，得221dxyd所以zEIxMdxyd)(222M(x)0M(x)0Odydx20xyM(x)0Odxdy022yxM(x)0§7-2挠曲线的近似微分方程8由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：zEIxMdxyd)(22由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。§7-2挠曲线的近似微分方程9§7-3用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：zEIxMdxyd)(22积分一次得转角方程为：CdxxMEIdxdyEIzz)()(22xMdxydEIz再积分一次得挠度方程为：DxCdxdxxMyEIz)(10积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~AAAAAA~~~~~0Ay0Ay0AAy位移边界条件光滑连续条件ARALyyARALARALyy－弹簧变形§7-3用积分法求梁的变形BAlCFabBAaqaCaaDq11例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：,0AxF),(FFAy)(FlMA2）写出x截面的弯矩方程)()()(lxFxlFxM3）列挠曲线近似微分方程并积分)()(22lxFxMdxydEIClxFEIdxdyEI2)(21DCxlxFEIy3)(61积分一次再积分一次BABxyxlFBy§7-3用积分法求梁的变形124）由位移边界条件确定积分常数0,0Ayx0,0Ax3261,21FlDFlC代入求解5）确定转角方程和挠度方程6）确定最大转角和最大挠度2221)(21FllxFEI3236121)(61FlxFllxFEIyEIFlyyEIFllxBB3,2,3max2maxBABxyxlFBy§7-3用积分法求梁的变形13例2求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程积分一次再积分一次qmaxyABAyFlByFAB)(2qlFFByAy22121)(qxqlxxM2222121)(qxqlxxMdxydEICqxqlxEIdxdyEI326141DCxqxqlxEIy43241121§7-3用积分法求梁的变形x144）由位移边界条件确定积分常数0,Bylx0,0Ayx0,2413DqlC代入求解5）确定转角方程和挠度方程3322416141qlqxqlxEIxqlqxqlxEIy343241241121qmaxyABAyFlByFAB§7-3用积分法求梁的变形15qmaxyABAyFlByFAB6）确定最大转角和最大挠度0212112qxqlxEIdxd令得，0dxd所以最大转角发生在024161411332qlqxqlxEIdxdy令得，0dxdy所以最大挠度发生在)(3845,24EIqlylx§7-3用积分法求梁的变形)(24,03EIqlxA)(24,3EIqllxB16ab1x2xABCFxAyFByFABy例3求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解1）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFByAy,2）弯矩方程axxlFbxFxMAy11110,AC段：lxaaxFxlFbaxFxFxMAy222222),()(CB段：§7-3用积分法求梁的变形173）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI1211112)(CxlFbxEIdxdyEI1113116DxCxlFbEIyAC段：ax10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI2223232)(662DxCaxFxlFbEIyCB段：lxa2§7-3用积分法求梁的变形ab1x2xABCFxAyFByFABy184）由边界条件确定积分常数0)(,22lylx0)0(,011yx代入求解，得位移边界条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx)()(,2121ayayaxxlFbFblCC661321021DD§7-3用积分法求梁的变形ab1x2xABCFxAyFByFABy195）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI12231)(661xbllFbxlFbEIyAC段：ax10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB段：lxa2§7-3用积分法求梁的变形ab1x2xABCFxAyFByFABy20maxyD6）确定最大转角和最大挠度令得，0dxd))((6,maxalEIlFablxB令得，0dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx§7-3用积分法求梁的变形ab1x2xABCFxAyFByFABy21§7-4用叠加法求梁的变形)(22xMEIy''dxydEI设梁上有n个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：)(xMEIy''ii若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：iiy)(xMi由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii所以，)('')(''11xMyEIyEIniinii22故'')(''1niiyy由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。§7-4用叠加法求梁的变形23已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy321BBBByC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643例4解§7-4用叠加法求梁的变形24yC1yC2yC33）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和)(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB§7-4用叠加法求梁的变形25已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形Cy例5解§7-4用叠加法求梁的变形26Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC,248128234222lEIqlEIqllyyBBCEIqlC631EIqlC4832EIqlyyiCiC384414213）将结果叠加EIqliCiC4873212）再将处理后的梁分解为简单载荷分别作用的情形，分别计算C截面的挠度和转角。§7-4用叠加法求梁的变形27目录§7-4用叠加法求梁的变形已知：简支梁梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形q/2BABAlqCBAq/2q/22）再将处理后的梁分解为简单载荷分别作用的情形，分别计算C截面的挠度和转角。3）将结果叠加例6415768CqlyEI=-20Cy=45768CqlyEI=-01CEIqlEIlqC3842422332EIqlC384328目录§7-4用叠加法求梁的变形求图示梁自由端C的挠度yC和转角C1）采用局部刚化法32123CFlyEI=-例7AF1l2l1EI2EIBCFFFFl2FFl2222121112FllFllEIEI=--（1）（2）（3）22212EIFlC2222lyyBBC122113123EIlFlEIFl121222EIFlBC11233EIlFlBC2333lyyBBC29目录§7-4用叠加法求梁的变形32123CFlyEI=-3）将结果叠加例7AF1l2l1EI2EIBCFFFl23211221132CFlFllyEIEI=--2221213112CFllFllyEIEI=--33222211221212111133232CFlFlFllFllFllyEIEIEIEIEI=-----22212EIFlC12122EIFlC1123EIlFlC11212122222EIlFlEIFlEIFlC30目录§7-4用叠加法求梁的变形求C截面的挠度yC和转角C3）将结果叠加例6BAlqCa1）采用局部刚化法qqqaqa2/2418CqayEI=-()33424CqayalEI=-+EIqaC631EIlqaC622laEIqaC62aEIlqayC3222EIlqa6331§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施1.刚度条件][],[maxmaxyy建筑钢梁的许可挠度：1000~250ll机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：5000132已知钢制圆轴左端受力为F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。轴承B处的许可转角θ=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。根据要求，设计直径d轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B处转角不超过许用数值。B1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B处的转角为：2）由刚度条件确定轴的直径：EIFlaB3B111mmm101115.010206318012102064318064342934EFlad例6解§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施33§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施2.提高梁刚度的措施1）选择合理的截面形状342）改善结构形式改变支座形式§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施33BFlyEI=348CFlyEI=352）改善结构形式改变支座形式§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施33BFlyEI=348CFlyEI=362）改善结构形式改变载荷类型§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施3148CFlyEI=325384CFlyEI=2162.5%CCyy=yC1yC2373）采用超静定结构§7-5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施38§7-6用变形比较法解简单超静定梁1.基本概念：超静定梁：梁的支反力数大于有效平衡方程数。多余约束：多余维持平衡所必须的约束。超静定次数：等于多余约束或多余支反力的数目。2.求解方法：392a(d