第2章--随机变量及其分布

第2章随机变量及其分布•2.1验证性实验•2.2设计性试验•2.3综合性实验第2章随机变量及其分布【随机变量及其分布简介】随机变量的产生是概率论发展史中的重要事件，用随机变量来描述随机现象是近代概率论中最重要的方法。随机变量的出现使得概率论的研究对象从个别的事件扩大为全面地刻画了随机试验结果的一个函数。对于随机变量，重要的是要知道它可以取哪些值以及以多大的概率取这些值，为此引进了分布函数、概率密度、分布律等概念。分布函数完整地刻画了随机变量，而且具有良好的性质，因此是研究随机变量的重要工具。分布律和概率密度是分别描述离散型随机变量和连续型随机变量的重要概念，它们二者有着相似的性质和作用，在后面计算随机变量的数字特征以及进行参数估计和假设检验都会经常用到。2.1验证性实验实验一常见分布的概率密度、分布函数生成【实验目的】1.会利用Matlab软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值,以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律)2.会利用Matlab软件计算分布函数值,或计算形如事件{X≤x}的概率3.会求上α分位点以及分布函数的反函数值【实验要求】1．掌握常见分布的分布律和概率密度的产生命令，如binopdf，normpdf等2．掌握常见分布的分布分布函数命令，如binocdf，normcdf等3．掌握常见分布的分布分布函数反函数命令，如binoinv，norminv等【实验内容】1.事件A在每次试验中发生的概率是0.3，计算（1）在10次试验中A恰好发生6次的概率；（2）生成事件A发生次数的概率分布；（3）在10次试验中A至少发生6次的概率；（4）设事件A发生次数为X，且X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x。1．（1）binopdf(6,10,0.3)运行结果为：ans=0.0368（2）binopdf(0:10,10,0.3)运行结果为：ans=Columns1through80.02820.12110.23350.26680.20010.10290.03680.0090Columns9through110.00140.00010.0000（3）binocdf(6,10,0.3)运行结果为：ans=0.98944（4）binocdf(6.1,10,0.3)运行结果为：ans=0.9894binoinv(0.345,10,0.3)运行结果为：ans=2或者：icdf('bino',0.345,10,0.3)运行结果为：ans=22．设随机变量X服从参数是3的泊松分布，求（1）概率P{X=6}；（2）X的分布律前七项；（3）设X的分布函数为F(x)，求F(6.1)；又已知F（x）=0.345，求x。（1）poisspdf(6,3)运行结果为：ans=0.0504（2）poisspdf(0:6,3)运行结果为：ans=0.04980.14940.22400.22400.16800.10080.0504（3）poisscdf(6.1,3)运行结果为：ans=0.9665poissinv(0.345,3)运行结果为：ans=2或者：icdf('poiss',0.345,3)运行结果为：ans=23．设随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布，求（1）X=4时的概率密度值；（2）P{X≤5}；（3）若P{X≤x}=0.345，求x。(1)unifpdf(4,2,6)运行结果为：ans=0.2500（2）unifcdf(5,2,6)运行结果为：ans=0.7500（3）unifinv(0.345,2,6)运行结果为：ans=3.3800或者：icdf('unif',0.345,2,6)运行结果为：ans=3.38004．设随机变量X服从参数是6的指数分布，求（1）X=0，1，2，3，4，5，6时的概率密度值；（2）P{X≤5}；（3）若P{X≤x}=0.345，求x。（1）exppdf(0:6,6)运行结果为：ans=0.16670.14110.11940.10110.08560.07240.0613(2)expcdf(5,6)运行结果为：ans=0.5654（3）expinv(0.345,6)运行结果为：ans=2.5387或者：icdf('exp',0.345,6)运行结果为：ans=2.53875．设随机变量X服从均值是6，标准差是2的正态分布，求：（1）X=3，4，5，6，7，8，9时的概率密度值；（2）X=3，4，5，6，7，8，9时的分布函数值；（3）若P{X≤x}=0.345，求x；（4）求标准正态分布的上0.05分为点。（1）normpdf(3:9,6,2)运行结果为：ans=0.06480.12100.17600.19950.17600.12100.0648（2）normcdf(3:9,6,2)运行结果为：ans=0.06680.15870.30850.50000.69150.84130.9332（3）norminv(0.345,6,2)运行结果为：ans=5.2023或者：icdf('norm',0.345,6,2)运行结果为：ans=5.2023（4）norminv(0.95,0,1)运行结果为：ans=1.6449或者：icdf('norm',0.95,0,1)运行结果为：ans=1.64496．设随机变量X服从自由度是6的t分布，求（1）X=-3，-2，-1，0，1，2，3的概率密度值；（2）X=-3，-2，-1，0，1，2，3的分布函数值；（3）若P{X≤x}=0.345，求x；（4）求t分布的上0.05分为点。（1）tpdf(-3:3,6)运行结果为：ans=0.01550.06400.22310.38270.22310.06400.0155（2）tcdf(-3:3,6)运行结果为：ans=0.01200.04620.17800.50000.82200.95380.9880（3）tinv(0.345,6)运行结果为：ans=-0.4187或者：icdf('t',0.345,6)运行结果为：ans=-0.4187（4）tinv(0.95,6)运行结果为：ans=1.9432或者：icdf('t',0.95,6)运行结果为：ans=1.94327．设随机变量X服从自由度为6的卡方分布，求：（1）X=0，1，2，3，4，5，6时的概率密度值；（2）X=0，1，2，3，4，5，6时的分布函数值；（3）若P{X≤x}=0.345，求x；（4）求该卡方分布的上0.05分为点。（1）chi2pdf(0:6,6)运行结果为：ans=00.03790.09200.12550.13530.12830.1120（2）chi2cdf(0:6,6)运行结果为：ans=00.01440.08030.19120.32330.45620.5768（3）chi2inv(0.345,6)运行结果为：ans=4.1603或者：icdf('chi2',0.345,6)运行结果为：ans=4.1603（4）chi2inv(0.95,6)运行结果为：ans=12.5916或者：icdf('chi2',0.95,6)运行结果为：ans=12.59168．设随机变量X服从第一自由度是2，第二自由度是6的F分布，求：（1）X=0，1，2，3，4，5，6时的概率密度值；（2）X=0，1，2，3，4，5，6时的分布函数值；（3）若P{X≤x}=0.345，求x；（4）求该f分布的上0.05分为点。（1）fpdf(0:6,2,6)运行结果为：ans=00.31640.12960.06250.03370.01980.0123（2）fcdf(0:6,2,6)运行结果为：ans=00.57810.78400.87500.92130.94730.9630(3)finv(0.345,2,6)运行结果为：ans=0.4544或者：icdf('f',0.345,2,6)运行结果为：ans=0.4544（4）finv(0.95,2,6)运行结果为：ans=5.1433或者：icdf('f',0.95,2,6)运行结果为：ans=5.14339．设（X，Y）服从均值向量为mu1=[-1,2]；协方差矩阵为：Sigma2=[1，1；1，3]的二维正态分布，求：（1）（X，Y）=(0，0)，（-1，2），（-2，3），（3，6）的联合概率密度值；（2）（X，Y）=(0，0)，（-1，2），（-2，3），（3，6）的联合分布函数值。（1）mu1=[-1,2];Sigma2=[11;13];a=[0,0;-1,2;-2,3;3,6];p=mvnpdf(a,mu1,Sigma2)运行结果为：p=0.00720.11250.02510.0000（2）mu1=[-1,2];Sigma2=[11;13];a=[0,0;-1,2;-2,3;3,6];p=mvncdf(a,mu1,Sigma2)运行结果为：p=0.12280.34800.15180.9895实验二随机数的生成【实验目的】1．掌握常见分布的随机数产生的有关命令2．掌握利用随机数进行随机模拟的方法【实验要求】掌握常见分布的随机数产生命令，如binornd，normrnd等1．产生参数为20,概率为0.25的二项分布的随机数。(1)产生1个随机数；(2)产生7个随机数；(3)产生21(要求3行7列)个随机数。(1)binornd(20,0.25)运行结果为：ans=4（2）binornd(20,0.25,1,7)运行结果为：ans=4737757（3）binornd(20,0.25,3,7)运行结果为：ans=492065756344522520565或者：random('bino',20,0.25,3,7)运行结果为：ans=2951344342537154967642．产生7个服从参数为6的泊松分布的随机数。poissrnd(6,1,7)运行结果为：ans=31059346或者：random('poiss',6,1,7)运行结果为：ans=688671373．产生区间(1,3)上的连续型均匀分布的随机数。(1)产生6×6个随机数；(2)产生21(要求3行7列)个随机数。（1）unifrnd(1,3,6)运行结果为：ans=2.06491.80771.48631.35162.25052.52482.43302.09711.30831.72072.08612.15211.35861.09752.91281.37761.87812.49531.67312.10552.87131.00241.57492.29111.37541.54962.63741.63282.00331.24641.64391.48302.45652.39922.52312.0088（2）unifrnd(1,3,3,7)运行结果为：ans=1.69451.39632.38882.06462.81292.34291.11391.18432.34451.51361.55881.78542.67431.90061.29571.86301.01952.89251.04972.94302.1649或者：random('unif',1,3,[3,7])运行结果为：ans=2.95711.93241.46062.19982.02761.91982.61082.69721.65132.15981.89691.81551.90182.40171.10132.26042.20631.07081.21612.10232.74454．产生服从均值为4，均方差为1的正态分布的随机数。（1）产生7个随机数；(2)产生21(要求3行7列)个随机数。（1）normrnd(4,1,1,7)运行结果为：ans=3.5674