不等式的易错点以及典型例题

..不等式的易错点以及典型例题1.同向不等式能相减，相除吗？2.不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3.分式不等式0aaxgxf的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）4.解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大于零.）5.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)6.利用重要不等式abba2以及变式22baab等求函数的最值时，你是否注意到a，bR（或a，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等)7.)Rb,(a,ba2ab2222abbaba(当且仅当cba时，取等号）；a、b、cR，cabcabcba222（当且仅当cba时，取等号）；8.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10a或1a）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……．9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”10.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）11.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。如：求25a-2b4,-33a+b3求a+b的取值范围，但也可以不用线性规划。11.不等式易错典型例题（1）未等价转化致错例题1：已知1324abab且，则2a+3b的取值范围是A1317(,)22B711(,)22C713(,)22D913(,)22错解：对条件“1324abab且”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12(a-b),求出结果为D。或用线性规划法。（2）含参函数未讨论致错..（3）是否取端点致错（4）充分必要条件概念不清致错..例题4-1：设,,1xyRxy则使成立的充分不必要条件是A1xyB1122xy或C1xDx-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清。正确答案为D。（5）均值不等式应用不当致错：一正二定三相等①忽视条件正数②忽视条件定值..③忽视条件取等号..例7-1若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（）A、2baB、abC、222baD、baab答案：B点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。④多次使用忽视等号是否同时成立..例题8-1：实数m,n,x,y满足m2+n2=a2,x2+y2=b,则mx+ny的最大值是。A、2baB、abC、222baD、22ba答案：B错解：A错因：忽视基本不等式使用的条件，而用2222222baynxmnymx得出错解。正解：三角函数换元法设m=a.cosA,n=asinA;x=b.cosB,y=bsinB则mx+ny=（a.cosA）（b.cosB）+（a.cosB）（bsinB）=ab.[sin(A-B）]因此mx+ny的最大值是ab.⑤用均值不等式时忽略实际情况例题9：数列{an}的通项式902nnan，则数列{an}中的最大项是（）A、第9项B、第8项和第9项C、第10项D、第9项和第10项答案：D点评：易误选A，运用基本不等式，求nnan901，忽略定义域N*。（6）综合应用中考虑不全致错例题10：如果2log3log2121x那么xsin的取值范围是（）A、21,21B、1,21C、1,2121,21D、1,2323,21正确答案：B错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于23，于是就选了D.其实x等于120度时可取得该值。故选B。（7）不会应用几何意义致错例题11：x为实数，不等式|x－3|－|x－1|m恒成立，则m的取值范围是（）A.m2B.m2C.m－2D.m－2正确答案：D。..错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。（8）数形结合应用不当致错例题12：f(x)=︱2x—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（）Aa＜0,b＜0,c＜0Ba＜0,b＞0,c＞0C2a＜2cD22ac＜2正确答案：D错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。（9）换元后的取值范围不对致错例13：已知1sinsin3xy，求2sincosxy的最大值和最小值。错解一：22111sincos(sin)612xyx，当1sin6x时，取得最小值1112；当sin1x时，取得最大值1；错解二：22111sincos(cos)212xyx，当1cos2x时，取得最小值1112；当cos1x时，取得最大值43；正解分析：解法二忽略了范围限制，应由1sin111sinsin13yxy得：2sin13y。12.线性规划典型题型由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。（1）求线性目标函数的取值范围例1：（一次函数型）若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]..解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A拓展：思考二次函数型、指数函数型、对数函数型等。（2）求可行域的面积例2：不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B例3：在平面直角坐标系xoy中，已知集合2(,)|00xyAxyxy，则集合(2,2)|(,)BxyxyxyA表示的平面区域的面积为10例4：在平面直角坐标系中，不等式组02030yxyxy表示的区域为M，1txt表示的区域为N，若12t，则M与N公共部分面积的最大值为解：因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形，再结合图形求公共部分的面积为f（t）即可，注意将公共部分的面积分解成两个图形面积之差，那么可知公共部分的面积为xyO22x=2y=2x+y=2BA2x+y–6=0=5x＋y–3=0OyxABCMy=2..2AOEBOCFOE111SSSSEO1t(2(t1))222，借助于二次函数得到最大值56（3）求可行域中整点个数例5：满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D（4）求线性目标函数中参数的取值范围例6：已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D例7：如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若)54,32(是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是(A)A．)103,512(B．)125,310(C．)512,103(D．)103,512(（5）距离平方型目标函数的最值例8：已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2xyOx+y=5x–y+5=0Oyxx=32x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA..的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C（6）求约束条件中参数的取值范围例9：已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230230xymxym由右图可知3330mm,故0＜m＜3，选C（7）比值问题（斜率型）当目标函数形如yazxb时,可把z看作是动点(,)Pxy与定点(,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例10：已知变量x，y满足约束条件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0，则yx的取值范围是（）.（A）[95，6]（B）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析yx是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（52，92）时，yx取得最小值95；当直线OM过点（1，6）时，yx取得最大值6.答案A例11：已知函数f(x)的定义域为[－3，＋∞)，且f(6)＝2。f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的O2x–y=0y2x–y+3=0..图象如图所示。若正数a，b满足f(2a＋b)2，则32ba的取值范围是()A.3(,)2∪(3，＋∞)B.9(,3)2C.9(,)2∪(3，＋∞)D.3(,3)2解：如图所示：函数f（x）在[-3，0）是减函数，（0，+∞）上是增函数，又∵f（2a+b）＜2=f（6）。因为已知a、b均为正数，∴2a+b0,2a+b6,画出平面区域令t=32ba,表示过定点（2，-3）的直线的斜率,因此t∈（-∞，-32）∪（3，+∞）故选A例12：已知,xy满足203010yxxy，则264xyx的取值范围是171,7