数列教案

第二章数列2.1数列的概念与简单表示法课题2.1数列的概念与简单表示法课型新授课教学目标[来源:学#科#网]知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。重点难点教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程与教学内容Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一奎屯王新敞新疆关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序号12345这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：nan1来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()nafn，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…6．数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列观察：课本P33的六组数列，哪些是递增数列，递减数列，常数数列，摆动数列？[范例讲解]课本P29-31例Ⅲ.课堂练习课本P31[练习]3、4、5[来源:学|科|网Z|X|X|K][补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2)32,154,356,638,9910,……；[来源:Zxxk.Com](3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；(5)2,－6,12,－20,30,－42,…….解：(1)na＝2n＋1；(2)na＝)12)(12(2nnn；(3)na＝2)1(1n；(4)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴na＝n＋2)1(1n；(5)将数列变形为1×2,－2×3,3×4,－4×5,5×6,……，∴na＝(－1)1nn(n＋1)[来源:Z_xx_k.Com]Ⅳ.课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。Ⅴ.课后作业课本P33习题2.1A组的第1题2.2.1等差数列的概念与通项公式目标（1）通过实例，理解等差数列的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列;（2）探索并掌握等差数列的通项公式，及通项公式的简单应用。（3）了解等差数列的函数特征。重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。难点等差数列通项公式推导。导入上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。高斯10岁时计算的数列：1，2，3，4，…，100姚明一周每天罚球个数的数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000运动鞋尺码的数列：思考1：请同学们仔细观察一下，看看以上三个数列有什么共同特征？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（注：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列新课二．探究新知学做思一:等差数列的定义导学:请总结等差数列的概念：[来源:学&科&网Z&X&X&K]等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）。练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出公差d,如果不是，说明理由。（1）1,1,1,1，…d=0（2）4,7,10,13,16，…d=3导思：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断每一项（从第2项起）与它的前一项的差是不是同一个常数,而且公差可以是正数，负数，也可以为0。1(nnaadd是常数，n2,nN）1(nnaaddnN或是常数,）学做思二:等差数列的通项公式导学:请同学们观察数列：-1，1，3，5，7,…并思考：在数列中=？我们该如何求解呢？如何求一般等差数列的通项公式？[来源:学+科+网Z+X+X+K]导做;等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：不完全归纳法：即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：迭加法：｛｝是等差数列，所以：……两边分别相加得：所以：由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式∴d=导思：等差数列的通项公式：100a1{}.nnaada思考：已知等差数列的首项为，公差为，求na1adaa12daa12daa23dadaa2123daa34dadaa3134dnaan)1(1nadaa12dnaan)1(1dnaan)1(1dmaam)1(1dmaam)1(1nadna)1(1dmnadndmamm)()1()1(nadmnam)(dnaan)1(1nadmnam)(三、例题分析例1：⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？例2：在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36,求通项公式an.导思：求等差数列通项公式的关键步骤：求基本量和d：根据已知条件列方程，由此解出和d，再代入通项公式。[来源:Z§xx§k.Com]像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。例3已知数列{}的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？导学：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看（n≥2）是不是一个与n无关的常数。导思：①若p=0，则{}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，…②若p≠0,则{}是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.③数列{}为等差数列的充要条件是其通项=pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式。④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。[来源:Z_xx_k.Com]1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．642．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a23，则公差d＝()A．0B.12C．2D．0或123．等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝4，如果an＝2019，则序号n等于()A．502B．503C．504D．5054已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则a1＝________.5等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________．反思总结通过本节学习，首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式：－=d，（n≥2，n∈N）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q(p、q是常数)的理解与应用.1a1anaqpnanpqna1nnaananananana1nadnaan)1(1nadmnam)(na2.2.2等差数列的性质目标知识与技能：1.明确等差中项的概念2.熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数列的性质3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题重点目标等差数列的定义及性质的理解与应用难点目标灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题导入上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆一下什么样的数列叫等差数列？一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an-an-1=d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用“d”表示生1等差数列{an}的通项公式应是an=a1+(n-1)d生2等差数列{an}还有两种通项公式：an=am+(n-m)d或an=pn+q(p、q是常数下面几种计算公差d的公式：①d=an-an-1；②；③.生3公式②与③记忆规律是项的值的差比上项数之间的差新课二、新课学习：学做思一:等差中项[来源:学科网ZXXK]导学：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由定义得A-=-A，[来源即：反之，若，则A-=-A由此可得：a，A，b成等差数列我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.导做：根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项［导思］等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列abababab探究1.等差数列的常用性质设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有下列性质：(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.(2)若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am＋an＝2ak.请你给出证明．3、运用性质，解决问题。例1.在等差数列{an}中，