第3章--随机变量的数字特征

第3章随机变量的数字特征•3.1验证性实验•3.2设计性实验•3.3综合性实验第3章随机变量的数字特征【数字特征简介】随机变量的数字特征是概率论研究的一个既古老又年轻的重要内容。概率论的产生，其中一个主要的推动力就是对数字特征中数学期望的探究：赌金的分配问题。十七世纪中叶，两个赌徒赌博掷骰子，由于中途停止，对于赌金的分配存在异议，于是就写信向当时法国的著名的数学家帕斯卡请教。帕斯卡经过长时间的思考，终于有了进展，于是写信给数学家费马讨论，最终取得了一致的意见。这时荷兰的数学家惠更斯了解到这件事，也参加了他们的讨论。通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念――数学期望。讨论最后，惠更斯把它写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年），这就是概率论最早的一部著作。于是，一个崭新的数学分支――概率论登上了历史舞台，最早的概率论研究即由此开始。3.1验证性实验实验一数学期望与方差【实验目的】1．加深对数学期望，方差的理解2．理解数学期望，方差的意义，以及具体的应用3．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用，了解MonteCarlo方法【实验要求】概率与频率的理论知识，Matlab软件1．若)3.0,20(~bX，求)(),(XDXE。在Matlab命令窗口输入：[M,V]=binostat(20,0.3)输出结果为：M=6V=4.2000【实验内容】2．若)3(~X，求)(),(XDXE。在Matlab命令窗口输入：[M,V]=poisstat(3)输出结果为：M=3V=33．设随机变量X的概率密度为：其他021210)(xxxxxf，求)(),(XDXE。在Matlab命令窗口输入：symsxf1=x;f2=2-x;Ex=int(x*f1,0,1)+int(x*f2,1,2);Ex2=int(x^2*f1,0,1)+int(x^2*f2,1,2);Dx=Ex2-Ex^2输出结果为：Ex=1Dx=1/64．设),(YX的概率密度为：其他00,108),(xyxxyyxf，求)(),(YEXE。在Matlab命令窗口输入：symsxyfxy=8*x*y;Ex=int(int(fxy*x,y,0,x),x,0,1)Ey=int(int(fxy*y,y,0,x),x,0,1)输出结果为：Ex=4/5Ey=8/155．已知圆的半径)10,0(~UR，求)(RE，)(RD，以及圆的面积的期望和方差。在Matlab命令窗口输入：n=1000;%10010000R=unifrnd(1,2,n,1);Er=mean(R),Dx=var(R)Es=mean(pi*R.^2),Ds=var(pi*R.^2)输出结果为：Er=1.5019Dx=0.0802Es=7.3379Ds=7.18116．袋中有20张卡片，编号为1，2，3，．．．20．现在从中抽出一张卡片出来，记录卡片的编号．一共抽取５次，求所得编号之和的期望和方差。在MATLAB命令窗口输入：n=1000;sele=[];forii=1:nsort=randperm(20);sele(:,ii)=sort(1:5);endsigma=sum(sele);Ex=mean(sigma),Dx=var(sigma)输出结果为：Ex=52.6530Dx=135.85647．已知，某射击运动员在每次射击的时候，命中的环数服从以下分布：05678910)(ixP00.020.050.080.150.20.5（其中0表示脱靶）估计此设计运动员在100次射击中的平均的环数。在MATLAB命令窗口输入：x=[05678910];p=[00.020.050.080.150.20.5];E=x*p'输出结果为：E=8.96003.2设计性实验实验二协方差与相关系数、矩【实验目的】1.加深对协方差、协方差矩阵和相关系数的理解2.了解协方差、协方差矩阵和相关系数的具体应用3.了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】协方差、相关系数的理论知识，Matlab命令cov、corrcoef1．给定]221[];110[YX，求XYYX),,cov(。在Matlab命令窗口输入：x=[0-11];y=[122];cxy=cov(x,y);c=cxy(1,2)rxy=corrcoef(x,y);r=rxy(1,2)输出结果为：c=0r=02．设随机变量X的分布律为：3.04.03.0202kpX，令XXXXsin,cos21，求),cov(21XX。在Matlab命令窗口输入：X=[-pi/20pi/2];P=[0.30.40.3];Ex1=sin(X)*P';Ex2=cos(X)*P';Ex1x2=sum(sin(X).*cos(X).*P);cx1x2=Ex1x2-Ex1*Ex2输出结果为：cx1x2=03．设),(YX的概率密度为：其他00,108),(xyxxyyxf，求),cov(YX。在Matlab命令窗口输入：symsxyfxy=8*x*y;Ex=4/5;Ex=int(int(x*f(x,y),y,0,x),x,0,1)Ey=8/15;cxy=int(int(fxy*(x-Ex)*(y-Ey),y,0,x),x,0,1)输出结果为：cxy=4/2254．设B服从]2,0[上的均匀分布，),cos(),cos(BAYBXA为常数．求X和Y的相关系数XY。3cos5.04949.0XY在Matlab命令窗口输入：n=1000;A=pi/3;B=unifrnd(0,2*pi,n,1);X=cos(B);Y=cos(A+B);rxy=corrcoef(X,Y)输出结果为：rxy=1.00000.49490.49491.0000即：和的相关系数分别取,2,3,0A，计算它们的相关系数．可以通过画出X和Y的图形，观察A取值不同对X和Y的影响．在Matlab命令窗口输入：n=1000;A=[0,pi/3,pi/2,pi];AA=sym(A);B=unifrnd(0,2*pi,n,1);X=cos(B);Y1=cos(A(1)+B);Y2=cos(A(2)+B);Y3=cos(A(3)+B);Y4=cos(A(4)+B);rxy=[corrcoef(X,Y1),corrcoef(X,Y2),corrcoef(X,Y3),corrcoef(X,Y4)];画图：subplot(2,2,1);plot(X,Y1,'.');title(['rxy=',num2str(rxy(3)),',A=',char(AA(1))]);subplot(2,2,2);plot(X,Y2,'.');title(['rxy=',num2str(rxy(7)),',A=',char(AA(2))]);subplot(2,2,3);plot(X,Y3,'.');title(['rxy=',num2str(rxy(11)),',A=',char(AA(3))]);subplot(2,2,4);plot(X,Y4,'.');title(['rxy=',num2str(rxy(15)),',A=',char(AA(4))]);图3.1不同角度的相关系数画出图形为：可以看出，当不同值时，相应的相关系数随之变化．相关系数反应了两个随机变量的线性关系的密切程度。5．设随机变量nmnnmmXXXXXX,,,,,,,,111独立同分布，且有有限方差，求niimniiXVXU11,之间的相关系数。假定)1,0(~NXi，200,100nm，则在Matlab命令窗口输入：k=1000;m=100;n=200;X=[];forii=1:m+nX(:,ii)=normrnd(0,1,k,1);endU=sum(X(:,1:n),2);V=sum(X(:,m+1:m+n),2);ruv=corrcoef(U,V)输出结果为：ruv=1.00000.50700.50701.0000这次实验采用的是标准正态分布的例子．可以通过做图的办法观察取出的点的情况．在Matlab命令窗口输入：subplot(1,2,1);histfit(U);title('dataU');subplot(1,2,2);histfit(V);title('dataV');得到图形：图3.2U，V正态分布图3.3设计性实验实验一数学期望与方差【实验目的】1．加深对数学期望和方差概念的理解2．了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】数学期望与方差的理论知识，Matlab软件时时xyxyxxyy)(3.05.15.11．某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1000,2000]。购进的苹果在一周内售出，每售出1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。假设购进苹果y(kg)，收益为。故与需求量X有关，也与购进的苹果的数量y有关，即：而y的密度函数10001)(xp，)20001000(x。得：dxdxxpE200010001000)()9000000330009(10000110005.1)(3.05.1220001000yyydxdxxyxyy通过对E求导，令0103350009yE得到当35500y时,E达到最大值2125。在Matlab命令窗口输入：symsxyita1=1.5*y;%yxita2=1.5*x-0.3*(y-x);%yxphix=1/1000;Eita=simplify(int((ita2)*...(phix),x,1000,y)+int(ita1*phix,x,y,2000))dif=diff(Eita,y)y=solve(dif)E=eval(Eita)输出结果为Eita=-9/10000*y^2-900+33/10*ydif=-9/5000*y+33/10y=5500/3E=2125设x表示产品表面的疵点数，由已知，8.0)(xE，且x服从泊松分布，故8.0)(xE!)8.0()(8.08.0memPm2．某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值。设y表示产品的价值，则y有分布律：8088.0!)8.0()1()10(108.0mmmexpyp1898.0!)8.0()41()8(428.0mmmexpyp0014.0)4(1)4()0(xPxpyp故有：6063.9)8(8)10(10)0(0)(yPyPyPyE(元)在Matlab命令窗口输入：pro=[];price=[0108];pro(2)=poisscdf(1,0.8);pro(3)=poisscdf(4,0.8)-pro(2);pro(1)=1-pro(2)-pro(3)Ey=pro*price‘输出结果为：pro=0.00140.80880.1898Ey=9.60633．设活塞的直径（单位：cm）)03.0,40.22(~2NX，汽缸的直径（单位：cm）)04.0,50.22(~2NY，X和Y相互独立。现任取一只活塞，任取一直汽缸，求活塞能装入汽缸的概率。由题意，要求}0{}{YXPY