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第九单元《数学广角──鸡兔同笼》单元教学计划教学内容教材第103～107的内容。教材分析“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。其解法包括：列表法、假设法、方程法。由于本单元还没学习到方程法，因此，教材主要引导学生通过猜测、列表和假设等方法来逐步解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理能力。其编排特点如下：1．利用古题激发学习兴趣。2．体现解决问题的策略和方法多样化。3．拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。教学目标1．了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。2．经历自主探究解决问题的过程，体验解决问题策略的多样化。了解列表法、假设法等解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。教学建议1.了解“鸡兔同笼”问题的本质，渗透化繁为简的数学思想。2.引导学生探索解决问题的策略和方法，丰富解题策略。单元课时安排第1课时鸡兔同笼问题第2课时用“鸡兔同笼”解决实际问题第1课时鸡兔同笼问题教学内容鸡兔同笼问题：教材第103～104页例1。教学目标1．了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的思想，掌握用列表法、假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。2．经历猜测的过程，尝试用列表、假设的方法解决“鸡兔同笼”问题，引导学生有序思考，使学生体会解题策略的多样性。3．在解决问题的过程中，培养学生的迁移思维能力，感受古代数学问题的趣味性。教学重点渗透化繁为简的思想，体会用假设法的逻辑性和一般性。教学难点理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。教学过程一、导入新课师：同学们，大约一千五百多年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题——“鸡兔同笼”问题。出示主题图：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？师：这道题是以文言文的方式表述的，哪位同学看懂它的意思了？生：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?师：从题中获取信息，你知道了什么，要求什么问题？二、新课教学1．尝试解决，交流想法。既然“鸡兔同笼”问题能流传至今，就应该有它独特的思考方式和解题方法。问题：同学们想一想，算一算鸡和兔各有多少只？2．感受化繁为简的必要性。师：大家在刚才猜了好几组数据，经过验证都不正确，为什么猜不对呢？数据大了不好猜，我们应该怎么办？我们把数字改小些，先从简单的问题入手。（课件出示例1）“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”师：从题中你们能获取哪些信息？和生活常识联系在一起，你还能说出哪些信息？预设：生1：鸡和兔共8只，鸡和兔共有26只脚。生2：鸡有2只脚，兔有4只脚。3．猜想验证。师：有了这些信息，我们先来猜猜，笼子可能会有几只鸡？几只兔？猜测需要抓住哪个条件？生：鸡和兔一共有8只。师：每组都有一张表格，请大家来填一填，看看谁能又快又准确地找出答案来。学生汇报。小结：这个方法挺好，能帮我们解决鸡兔同笼的问题，我们把这种方法叫做列表法。（板书：列表法）师：老师刚才发现，很多同学都完成得非常快，很了不起！那么，同学们，你们觉得用列表法解决“鸡兔同笼”问题怎么样呢？生1：列表法能很清晰地解决这个问题。生2：因为数字比较简单，所以列表法还可以用，但是数字变大时，列表法就会比较麻烦，会浪费很多时间。师：说得非常好，那我们就来尝试研究一下更简洁的方法吧。同学们再来观察自己刚才列的表格，看看这些数量之间是否存在着一些数学规律，请将你的想法跟同组的同学相互交流一下。学生小组交流汇报。生1：鸡的数量每减少1只，兔的数量就增加1只，脚的数量也跟着增加2只。生2：兔的数量每减少1只，鸡的数量就增加1只，脚的数量反而减少2只。4．数形结合理解假设法。教师：同学们的想法非常好，我们一起继续来看这张表格，通过分析表格来将同学们的想法表述得更加清晰。（1）假设全是鸡。教师：我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思？学生：就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡。教师：那笼子里是不是全是鸡呢？这也就是把什么当什么来算了？学生：不是，我们是把一只4只脚的兔当成一只2只脚的鸡来算的。教师：这样算会有什么结果呢？学生：每少算一只兔就会少算2只脚。教师：假设全是鸡，一共是16只脚。实际有26只脚，这样笼子里就少了10只脚，这说明什么呢？学生：每只鸡比兔少2只脚，少了10只脚说明笼子里有5只兔。教师：你们能列出算式吗？学生尝试列算式。师以画图法进行演示：8×2＝16（只）。（如果把兔全当成鸡，一共就有8×2＝16只脚。）26－16＝10（只）。（把兔看成鸡来算，4只脚的兔当成2只脚的鸡算，每只兔就少算了2只脚，10只脚是少算的兔的脚数。）4－2＝2（只）。（假设全是鸡，就是把4只脚的兔当成2只脚的鸡。所以4－2表示一只兔当成一只鸡，就要少算2只脚。）10÷2＝5（只）兔。（那把多少只兔当成鸡算，就会少10只脚呢？就看10里面有几个2，也就是把几只兔当成了鸡来算，所以10÷2＝5就是兔的只数。）8－5＝3（只）鸡。（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8－5＝3只鸡。）（2）假设全是兔。师：我们再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思？生：就是有0只鸡和8只兔，也就是假设笼子里全是兔。师：笼子里是不是全是兔呢？这个时候是把什么当什么算的？生：把里面的鸡当成兔来计算的。师：那把一只2只脚的鸡当成一只4只脚的兔来算，会有什么结果呢？生：就会多算2只脚。师：请同学们像老师那样画一画，算一算。学生汇报：8×4＝32（只）。（如果把鸡全看成兔，一共就有8×4＝32只脚。）32－26＝6（只）。（把鸡当成兔来算，2只脚的鸡当成4只脚的兔算，每只鸡就多了2只脚，6只脚是多算了鸡的脚数。）4－2＝2（只）。（假设全是兔，就是把2只脚的鸡当成4只脚的兔。所以4－2表示一只鸡当成一只兔，多算了2只脚。）6÷2＝3（只）鸡。（那要把多少只鸡当成兔来算，就会多算6只脚呢？就看6里面有几个2，也就是把几只鸡当成了兔来算，所以6÷2＝3就是现在鸡的只数了。）8－3＝5（只）兔。（用鸡兔的总只数减去鸡的只数就是兔的只数，8－3＝5只兔。）（3）提出假设法概念。刚才我们通过假设都是鸡或都是兔来解决例1的，所以把这种方法叫做假设法。这是解决“鸡兔同笼”问题的一种基本方法，也是算术方法中较为普遍的一般方法。（板书：假设法）5．小结：现在你能从新总结一下这些方法的优势和适用范围吗？数目比较小时，用列表法。数目比较大时，列表法计算量大，就有局限性，比较麻烦，最好用假设法比较好。用假设法时要特别注意：如果假设是鸡而先求出的就是兔子，如果假设的是兔子那先求出的是鸡，两者相反。6．课件出示：*古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的？（1）假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26÷2＝13只脚。（2）这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。（3）这时脚的总数与头的总数之差13－8＝5，就是兔子的只数。三、知识运用学生独立完成古代趣题。方法展示：1．列表法：答：鸡有23只，兔有12只。2．假设法：假设笼子里全都是鸡。35×2＝70（只）94－70＝24（只）4－2＝2（只）兔：24÷2＝12（只）。鸡：35－12＝23（只）答：鸡有23只，兔有12只。假设笼子里全都是兔。35×4＝140（只）140－94＝46（只）4－2＝2（只）鸡：46÷2＝23（只）兔：35－23＝12（只）答：鸡有23只，兔有12只。四、课堂小结这节课我们一起用列表法和假设法研究了古代著名的“鸡兔同笼”问题。你学会了吗？第2课时用“鸡兔同笼”解决实际问题教学内容用“鸡兔同笼”解决实际问题：教材练习二十四。教学目标1.加深了解“鸡兔同笼”问题本质，感受古代数学问题的趣味性。2.在解决生活实际问题的过程中，能发现“鸡兔同笼”问题，并体会代数方法的一般性。教学重点加深了解“鸡兔同笼”问题本质，感受古代数学问题的趣味性。教学难点理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理，建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。教学过程一、导入新课在“鸡兔同笼”问题中，你发现了什么规律？结论：鸡增加1只，同时兔减少1只，腿减少2条。鸡减少1只，同时兔增加1只，腿增加2条。腿增加和减少于兔保持一致。二、新课教学1.小知识。“鸡兔同笼”是一类中国有名的算术题，最早出现在《孙子算经》中。此书约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不清楚。先传版本的《孙子算经》共三卷。卷下31题，可谓是后世“鸡兔同笼”的始祖。（1）金鸡独立。其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，外国人对它也有关注，美国教授波利亚，他讲了一个很有趣的故事解释了这种解法的道理。有一天鸡和兔在草地上玩，鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子也将两条前腿提起来。这时草地上的总脚数是不是只剩下原来的一半了？94÷2＝47（只）这时草地上的脚数是不是还比鸡兔的总只数多一些呢？47－35＝12（只）为什么会多？不就是因为每只兔子有两只脚吗？这样总共多了几只脚就有几只兔子，而剩下的就是鸡了。35－12＝23（只）看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领——“奇思妙想”!（2）龟鹤同游。日本人对鸡兔同笼问题也有研究，传到后日本，变成“龟鹤算”：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？鸡兔同笼，也叫龟鹤问题。看问题要抓住本质的东西，这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！（3）有趣的“百僧百馍”。课件出示：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？这些有趣的故事，都是鸡兔同笼的原型再现。2.利用规律，实题操作（1）课件出示：鸡兔同笼，有10个头，28条腿，鸡、兔各有多少只？生利用规律进行练习。（2）“鸡兔同笼”变异题。课件出示：新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女各有几人？引导学生将“鸡兔同笼”的模型转换。学生思考谁是鸡，谁是兔。小组交流，汇报展示。假设全是男，12×3＝36（棵），少了：36－32＝4（棵），每位女生少：3－2＝1（棵）女生：4÷1＝4（人）男：12－4＝8（人）。（3）完成练习二十四的1～4题。引导学生将“鸡兔同笼”的模型转换。第1题，鸡兔同笼问题，学生思考谁是鸡，谁是兔。汇报展示：假设全是大钢珠。小钢珠有：(11×30－266)÷(11－7)＝16个；大钢珠有：30－16＝14个，答：大钢珠有14个，小钢珠有16个。师：从另外一个角度考虑怎么做？第2题，独立完成，小组交流，全班订正。第4题，学生思考谁是鸡，谁是兔。汇报展示：假设全是二等奖。一等奖：(10000－100×60)÷(300－100)＝4000÷200＝20(个）；二等奖：60－20＝40（个）。第3、5题，小组交流，合作完成，说一说想法。三、巩固练习1．停车场里停了三轮车和小汽车共11辆，总共有40个轮子，问三轮车和小汽车各有几辆？这道题与鸡兔同笼问题有什么联系？生找出两者的异同点，进行练习。2．完成练习二十四的6题。第6题，一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几人？学生独立思考，反馈展示。分析：把一个大和尚和一个小和尚当成一组，100÷(3＋1)＝100÷4＝25（组），这25也就是大和尚的人数，再用总人数100减去大和尚人数25，100－25＝75（人）得到小和尚有75人。答：大和尚有25人，小和尚有75人。四、课堂小结通过今天的学习，你了解了什么？有什么收获？