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第1页（共7页）一元二次方程实际应用专题1、（2018重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．解：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，∴a的值为10．2、（2018•宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；第2页（共7页）（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，解得：m1=，m2=﹣（舍去），∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，则（30﹣a）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，解得：3、（2018•安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，解得：a≥1900．答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．4、（2018•东平县二模）某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？第3页（共7页）（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．解：（1）设售价应为x元，依题意有1160﹣≥1100，解得x≤15．答：售价应不高于15元．（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），由题意得：1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3388，设m%=t，化简得50t2﹣25t+2=0，解得：t1=，t2=，所以m1=40，m2=10，因为m＞10，所以m=40．答：m的值为40．5、（2018•重庆模拟）“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m%，求m的值．解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：．答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：8（80+120）（1﹣m%）（1+m%）=1600，解得：m1=10，m2=0（不合题意舍去）．答：m的值为10．6、（2018•北碚区校级模拟）春漫三月，春茶飘香，重庆市永川区某茶叶基地碧绿连绵、碧浪汹涌，株株茶树冒出了新绿，此茶叶基地生产永川秀芽A，B两个品种，今年A品种每千克售价80元，B品种每千克售价100元，该地茶农今年收获A，B两个品种共500吨，其中A品种的产量不超过B品种产量的9倍．（1）该茶农今年收获B品种至少多少吨？第4页（共7页）（2）该茶农去年将A，B两个品种的茶叶全部运往市场销售，去年A，B的总产量与今年相同，而今年该茶农将收获的A，B两个品种的茶叶全部放在网店销售，且两年都全部售完去年B品种的市场销量在（1）的条件下的最低产量下减少了2m%，售价在今年的基础上增加%，去年A品种的售价与今年相同，去年向市场的运输成本一共为2050000元，今年B品种的销量为（1）中B品种的最低产量，结果去年的利润比今年减少%，求m的值．解：（1）设该茶农今年收获B品种茶叶x吨，则收获A品种茶叶（500﹣x）吨，根据题意得：500﹣x≤9x，解得：x≥50．答：该茶农今年收获B品种茶叶至少50吨．（2）根据题意得：50×（1﹣2m%）×100×1000（1+%）+[500﹣50（1﹣2m%）]×80×1000﹣2050000=[50×100×1000+（500﹣50）×80×1000]×（1﹣%），整理得：m2﹣420m+4100=0，解得：m1=10，m2=410（不合题意，舍去）．答：m的值为10．7、（2018•九龙坡区校级模拟）江南五月碧苍苍，“四时之果”枇杷黄．每年五月到六月正是枇杷成熟的季节，大街小巷到处可见金灿灿、黄橙橙的枇杷，让人直咽口水．枇杷不仅柔甜多汁，甘酸适口，而且有不错的药用价值，深受市民的喜爱的是“大五星”枇杷和“白玉”枇杷．“重庆百果园”水果超市5月上旬购进“大五星”枇杷和“白玉”枇杷共1000千克，进价均为每千克32元，然后“白玉”枇杷以60元/千克、“大五星”枇杷以48元/千克的价格很快售完．（1）若超市5月上旬售完所有枇杷获利不低于23200元，求购进“白玉”枇杷至少多少千克？（2）因气温日趋升高，枇杷成熟速度快，而“白玉”枇杷过熟后口味变淡，宜适时品尝，在进价不变的情况下，该超市五月中旬决定调整价格，将“白玉”枇杷的售价在五月上旬的基础上下调m%（降价后售价不低于进价），“大五星”枇杷的售价在五月上旬的基础上上涨m%；同时，与（1）中获利最低利润的销售量相比，“白玉”枇杷的销售量下降了m%，“大五星”枇杷的销售量上升了25%，结果五月中旬的销售额比（1）中获利最低利润的销售额增加了800元，求m的值．解：（1）设购进“白玉”枇杷x千克，则购进“大五星”枇杷（1000﹣x）千克，根据题意可得：（60﹣32）x+（48﹣32）（1000﹣x）≥23200，解得：x≥600，答：购进“白玉”枇杷600千克；第5页（共7页）（2）五月中旬的销售额=600×60+400×48+800=56000，60（1﹣m%）×600（1﹣m%）+48（1+m%）×400（1+25%）=56000，令m%=t，整理得：15t2﹣13t+2=0，解得：t1=，t2=，当t=时，售价=60×（1﹣）=20＜32（不合题意舍去）；当t=时，售价=60×（1﹣）=48＞32；当m%=，解得：m=20故m=20．8、（2018•江北区模拟）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，许多家居商城都会利用这个契机进行打折促销活动．甲卖家的某款沙发每套成本为5000元，在标价8000元的基础上打9折销售．（1）现在甲卖家欲继续降价吸引买主，问最多降价多少元，才能使利润率不低于20%？（2）据媒体爆料，有一些卖家先提高商品价格后再降价促销，存在欺诈行为．乙卖家也销售相同的沙发，其成本、标价与甲卖家一致，以前每周可售出5套，现乙卖家先将标价提高m%，再大幅降价40m元，使得这款沙发在3月15日那一天卖出的数量就比原来一周卖出的数量增加了m%，这样一天的利润达到了31250元，求m．解：（1）设降价x元，才能使利润率不低于20%，根据题意得：8000×0.9﹣x﹣5000≥5000×20%，解得：x≤1200．答：最多降价1200元，才能使利润率不低于20%．（2）根据题意得：[8000（1+m%）﹣40m﹣5000]×5（1+m%）=31250，整理得：m2+275m﹣16250=0，解得：m1=50，m2=﹣325（不合题意，舍去）．答：m的值为50元．9、（2018•重庆模拟）两江新区作为重庆自由贸易试验区的核心区，精加工产业发展迅速，区内某公司今年1月初以20元/套的进价购进了某种毛坯件12000套，精加工后，产品在2月份进行试销．（1）若售价为40元/套，则可全部售出；若每套涨价0.1元，销售量就减少2套．据了解，该公司在2月份销售了不低于11800套此种产品，求该产品的售价最高为多少元；（2）由于2月该产品热销，2月底该公司再次购进此种毛坯件，此次进价比1月初的进价每套增加了35%，精加工后，在4月份进行销售，4月份的销售量比1月初的进货量增加第6页（共7页）了a%（a＞0），但售价比2月份在（1）条件下的最高售价减少了a%，结果4月份此种产品的利润为252000元，求a的值．解：（1）设售价为x元，根据题意得12000﹣10（x﹣40）≥11800解得x≤60答：该产品的售价最高为60元（2）根据题意得12000（1+a%）[60（）﹣20（1+35%）]=252000设t=a%原方程可化为12000（1+t）[60（1﹣）﹣20（1+35%）]=252000解得t1=≈0.919