高等数学习题课答案

1/13第三章微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(xf在0x点处可导，且在0x点处取得极值，那么0)(0xf.（√）2.函数)(xf在0x点处可导，且0)(0xf，那么)(xf在0x点处取得极值.（×）3.若0x是fx的极值点，则0x是fx的驻点.(×)4.函数xf在区间ba,内的极大值一定大于极小值.(×)5.若()0,(,)fxxab,则()fx在(,)ab内单调增加.（√）6.0()0fx且0()0fx是函数()yfx在0x处取得极大值的充要条件.(×)7.函数arctanfxxx的图形没有拐点.（√）8.因为函数3yx在0x点不可导，所以0,0点不是曲线3yx的拐点.（×）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（D）.A．xeB．lnxC．xD．21x2．对于函数211fxx，满足罗尔定理全部条件的区间是（D）.（A）2,0；（B）0,1；（C）；1,2（D）2,23.设函数()12sinfxxxx，则方程()0fx在(0,)内根的个数（D）(A)0个;(B)至多1个;(C)2个;(D)至少3个.4．已知函数3()2fxxx在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的（D）.（A）13（B）12（C）12（D）135.若函数)(),(xgxf在区间),(ba上的导函数相等，则该两函数在),(ba上（C）.A.不相等B.相等C.至多相差一个常数D.均为常数2/136.arcsinyxx在定义域内(B).A.单调减函数B.单调增函数C.有单调增区间也有单调减区间D.没有单调性7.函数2129223xxxy的单调减少区间是（C）.（A）),(（B）)1,(（C）)2,1(（D）),2(8．设,ab内0fx，则曲线yfx在,ab内的曲线弧位于其上任一条切线的（A）.（A）上方;（B）下方;（C）左方;（D）右方.9.曲线32yaxbx的拐点为(1,3)，则（A）.（A）3,30abab（B）0,30abab（C）2,320abab（D）0,340abab10.设函数()yfx在开区间(,)ab内有'0fx且0fx，则()yfx在(,)ab内（C）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D.单调增加，图像是凸的11．函数2yaxc在区间0,内单调增加，则a和c应满足（C）.（A）0a且0c；（B）0a且c是任意实数；（C）0a且0c；（D）0a且c是任意实数.12．函数23xxy在其定义域内（B）（A）单调减少(B)单调增加(C)图形是凹的(D)图形是凸的13．若00,xfx为连续曲线yfx上凹弧与凸弧的分界点，则（A）.（A）00,xfx必为曲线的拐点;（B）00,xfx必为曲线的驻点;（C）0x点必为曲线的极值点;（D）0xx必为曲线的拐点.14.函数()2lnfxxx的驻点是（B）.（A）1x（B）12x（C）(1,2)(D)1(,1ln2)23/1315．函数2ln(1)yxx的极值（D）.A．是1ln2B．是0C．是1ln2D．不存在16.设()[0,1]()fxxfx在上有＜0，则下述正确的是（A）(A)(1)f＜)0()1(ff＜(0)f;(B)(0)f＜)0()1(ff＜(1)f;(C)(1)f＜(0)f＜)0()1(ff;(D)(0)f＜(1)f＜)0()1(ff17.设()fx具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)xfxx则(0)f是()fx的（A）（A）极大值；（B）极小值;（C）驻点;（D）拐点.18.设函数()yfx在0xx处有0fx=0,在1xx处导数不存在，则(C).A.0xx,1xx一定都是极值点B.只有0xx可以是极值点C.0xx,1xx都可能不是极值点D.0xx,1xx至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题8分）1．求极限220000011sinsin1cos2(1)limlimlimlimlim0sinsin22xxxxxxxxxxxxxxxxxx（2）11lim1lnxxxx=11ln1ln11limlim11lnlnxxxxxxxxxxx11lnln11limlimln1ln22xxxxxxxxx0(3)11lim1xxxe01lim(1)xxxexxe0011limlim12xxxxxxxxxeeexeeexe（4）200011ln(1)ln(1)lim()limlimln(1)ln(1)xxxxxxxxxxxx4/1300011111limlimlim22(1)2(1)2xxxxxxxxx20sin(5)limtanxxxxx2200sin1coslimlimtan3xxxxxxxx0sin1lim66xxx222201(6)lim(1)xxxexxe22401limxxexx2232002211limlim42xxxxxexexx122223220000tantansec1tan1(7)limlimlimlimln(1)333xxxxxxxxxxxxxxx1ln1(8)limcotxxarcx1limcotxxarcx222211limlim111xxxxxxxsinsincos(9)limlimcos1xaxaxaxaxa22200021sec77lntan7tan2sec77tan7(10)limlimlim11lntan2tan7sec22sec22tan2xxxxxxxxxxxxx(11)limarctan2xxx22221arctan12limlimlim1111xxxxxxxxx2limln(arctan)2(12)limarctanxxxxxxe2limln(arctan)xxx222211lnarctanlnlnarctanarctan1limlimlim111xxxxxxxxxx5/132222lim1xxx22limarctanxxxe.tan21(13)lim2xxx解：11sinln22limlimtanln2costan2221lim2xxxxxxxxxxee1122sinlim22xxxeetan0(14)1limxxx0011limtanlnlimlnxxxxxxee2001110lnlimlim1xxxxxxeee2．验证罗尔中值定理对函数32452yxxx在区间0,1上的正确性.解：fx在闭区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，012ff满足罗尔定理条件.（3分）令2121010fxxx，得5130,112x，满足罗尔定理结论.3．试证明对函数2ypxqxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.证明：在区间,ab上，fbfafba代入：222pbqbrpaqarpqba6/13解得：2ab.4．证明方程531xx在1,2之间有且仅有一个实根．证明：令531fxxx，11310f，522610f所以0fx在1,2上至少一个根，又4'53fxx，当1,2x时'0fx，所以单增，因此在1,2上至多有一个根.0fx在1,2上有且仅有一个根.5．设()fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()0fafb，证明：至少存在一个(,)ab，使得()()0ff.提示:令xFxefx证明：令()()xFxefx，显然()Fx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，且()()()xFxefxfx（3分）由Larange中值定理，则至少(,)ab，使得()()()FbFaFba又()()0fafb()()0ff6．设()fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，且()0fa，证明存在一点(0,)a，使得()()0ff.提示:令Fxxfx.证明：构造辅助函数()()Fxxfx，()fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导()Fx在[0,]a上连续，在(0,)a内可导，()()()Fxfxxfx且(0)()0FFa由Rolle定理，至少(0,)a，有()0F即()()0ff7．证明：不论b取何值，方程033bxx在区间1,1上至多有一个实7/13根证：令323,33311fxxxbfxxxx1,1x时，0,,ff故fx在区间1,1上至多有一个实根.8．证明：当1x时，xexe.证明:令()xfxexe，显然()fx在[1,]x上满足Lagrange中值定理的条件，由中值定理，至少存在一点(1,)x，使得()(1)(1)()(1)()fxfxfxee即()(1)0fxf又即xexe9．证明：当0x时，1112xx.证：1111111,0222121xfxxxfxxx00fxf,即有1112xx.10．求证：1,(0,)xexx证明：令()1,,[0,)xfxexx当(0,)x时，()10xfxe故在区间[0,)上，()fx单调递增从而当(0,)x时，()(0)0fxf即1xex或者：证明：221112!2xfeexxxxx……8分11．当1x时，证明：123xx.答案参看课本p148例68/1312．证明：当0x时，ln(1).1xxxx答案参看课本P132例113．设0,1abn，证明:11()()nnnnnbababnaab.证明：令()nfxx，显然()fx在[,]ba上满足lagrange定理条件，故至少存在一点(,)ba，使得()()()()fafbfab即1()nnnabnab又由ba及1(1)nnn的单增性，得11()()nnnnnbababnaab14．设0ab，证明：lnabbabaab证明：令()lnfxx，在区间,ba上连续，在区间(,)ba内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点,ba，使得1lnln()abab，又因为1110,ab因此，lnabaababb.15．证明恒等式arcsinarccos,112xxx.证：令arcsinarccosfxxx则fx在1,1上连续.在