4-3-分枝定界法

1第四章整数规划4.1整数规划数学模型和解的特点4.2分配问题4.3分枝定界法4.4割平面法4.5应用举例24.3分支定界法分支定界法3原理：首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则这个解就是整数规划的最优解。如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数，把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性规划的最优解。如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个“界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。4步骤：1.解整数规划问题（ILP）的松弛问题，结果可能有三种：松弛问题没有可行解，ILP也没有可行解，停止计算。松弛问题有最优解，并符合ILP的整数条件，则此最优解即为ILP的最优解，停止计算。松弛问题有最优解，但不符合ILP的整数条件，记它的目标函数值为；2.用观察法找问题ILP的一个整数可行解，求得其目标函数值，并记作，以Z*表示ILP的最优目标函数值，则分支，如松弛问题有一个最优解xj为非整数值bj，则可以构造两个分支。xj≤[bj]xj≥[bj]+1定界，以每个后继问题为一分支表明求解的结果。ZZZZZ*5【例1】用分枝定界法求解【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）：0,255.22108.02.1:034max21212121xxxxxxLPxxZ用图解法得到最优解X＝（3.57,7.14）,Z0=35.7,如下图所示。且均取整数,0,255.22108.02.134max21212121xxxxxxxxZ68.3310108.02.121xx255.2221xx松弛问题LP0的最优解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC1071010x1x2oABC0,3255.22108.02.1:134max211212121xxxxxxxLPxxZLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8LP2:X=(4,6.5),Z2=35.50,4255.22108.02.1:234max211212121xxxxxxxLPxxZ得到两个线性规划及增加约束4311xx①②81010x1x2oABCLP1LP334LP3:X=(4.33,6),Z3=35.330,64255.22108.02.1:334max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，不可行，得到线性规划，显然及进行分枝，增加约束选择目标值最大的分枝7762222xxxLP6①②不可行72xLP1:X=(3,7.6),Z1=34.891010x1x2oACLP134可行域是一条线段即，，,40,464255.22108.02.1:434max121121212121xxxxxxxxxxLPxxZ：及，到线性规划及进行分枝，增加约束，选择由于545431113LPLPxxLPZZ6①②0,65255.22108.02.1:534max2121212121xxxxxxxxLPxxZ，LP4:X=(4,6),Z4=34LP5:X=(5,5),Z5=355LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8LP3LP510尽管LP1的解中x1不为整数，但Z5Z因此LP5的最优解就是原整数规划的最优解。上述分枝过程可用下图表示LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x1≤3x1≥4LP3:X=(4.33,6)Z3=35.33x2≤6LP4:X=(4,6)Z4=34LP5:X=(5,5)Z5=35x1≤4x1≥5无可行解x2≥711(11/4,9/4),Z=31/4(3,3/2),Z=15/2(2,2),Z=6无解无解例2：且为整数0,21260522121212121xxxxxxxxxxMaxZ(11/4,9/4)x1≤2x1≥3(2,2)(3,3/2)x2≤1x2≥2(19/6,1),Z=22/3(3,1),Z=7(19/6,1)x1≤3x1≥412•分支定界法的基本思想•以求相应的线性规划问题的最优解为出发点，如果得到的解不符合整数条件，就将原规划问题分成几支，每支增加了约束条件，即缩小了可行解区域，可行解范围也随之缩小了，因而整数规划的最优值不会优于相应的线性规划最优值。•“定界”是指为目标函数定上下界，以便自动舍去那些最优值较差的子问题，提高计算效率。当整数规划问题的最优目标函数值的上下界相等时，该整数规划最优解已求出。13分枝定界法的步骤：1.求整数规划的松弛问题最优解；2.若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解，否则转下一步；3.任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束xi≤[xi]及xi≥[xi]+1组成两个新的松弛问题，称为分枝。新的松弛问题具有特征：当原问题是求最大值时，目标值是分枝问题的上界；当原问题是求最小值时，目标值是分枝问题的下界；4.检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算,若还存在非整数解并且目标值大于（max）整数解的目标值，需要继续分枝，再检查，直到得到最优解。14作业P1274.8