本科毕业论文-多项式方程的判别式与求根公式

东莞理工学院本科毕业论文（2015届）题目:多项式方程的判别式与求根公式学生姓名:姚培基学号:201141410230院（系）:计算机学院专业班级:信息与计算科学（2）班指导教师:起止时间:2015年1月—2015年5月I多项式方程的判别式与求根公式摘要:近代数学史甚至能说是一部求解多项式方程的历史。对于高次方程的数值根求解法，人们从很早就开始并一直探求这样的问题。而且在古代，很多人都想出了一个办法来解决各种各样的多项式方程。如卡尔米诺的《大术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。在目前，有关问题求解多项式方程根的在工程实践中占有举足轻重的地位。如在人类的生活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算一直起着非常重要的作用。当人们在进行科学或者工程计算时，求解多项式方程组更是非常容易遇到的问题之一。许多领域如自然生活和工程科学最终都可以归结为求解多项式方程组的问题。这个时候人们就通常需要处理求解代数方程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单一些;但是当项非常复杂或变元非常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到比较多的困难。对多项式方程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际工程计算中，具有十分重要的意义。关键词:多项式;判别式;求根公式;MATLABIIDiscriminantandseektherootofpolynomialequationsAbstract:themodernmathematicsthatwouldbecomeahistoryofpolynomialequationsolution.Peoplelongagobegantoexploretheproblemofhighorderequationofnumericalmethod.Butinancienttimes,manypeoplehavebeendevelopedtosolveallkindsofmethodofpolynomialequations.Suchaschapternineoftheyellowemperoralgorithmfinegrassofjiaxian,chiu-shaothenumberofbookchapternine,Carlminobigoperationandsoon.Innowadays,polynomialequationfortherootproblemhasapivotalpositionintheengineeringpractice.Asinhumanlife,economicconstructionanddevelopmentofscienceandtechnologyintheprocessofcalculationisalwaysplaysaveryimportantrole.Inscienceandengineeringcalculation,tosolvethepolynomialequationsisoneofthemostcommonproblemsinthenaturallifeandthecomputingprobleminthefieldofengineeringscienceandmanyothereventuallyallboilsdowntosolvingthepolynomialequations.Atthistimeoftenneedtodealwithalgebraicequationstosolvetheproblem,iftheargumentorasimpler,lesscalculationprocessisrelativelysimple;Andwhentheargumentisverymoreorwhentheitemisverycomplex,itsIIIsolvingprocessisoftenmoredifficult.Thediscriminantandseektherootofpolynomialequations,intheoreticalresearchandpracticalengineeringcalculation,haveveryimportantsignificance.Keywords:polynomial;Thediscriminant.Rootformula;MATLABIV目录一、引言.....................................................................................................1（一）一元二次方程的判别式和求根与韦达定理.....................1（二）一元三次方程的判别式和求根公式及其推导...................2（三）一元四次方程的解法......................................5二、一元多次多项式................................................................................8（一）代数基本定理............................................9（二）域论基础...............................................10（三）多项式方程的判别式.....................................11（四）牛顿恒等式.............................................12（五）关于一元五次方程.......................................19三、总结与展望......................................................................................20参考文献...................................................................................................23致谢...........................................................................................................251一、引言在人类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天文学家及地理学家花拉子米作为第一人给出了一元二次方程的一般解法。而在1100年奥玛·海亚姆则根据于一元三次的方程的特殊性作出了不一般的解法。到了1541年，有名数学家塔尔塔利亚提出了对于一元三次方程一般解法的问题。1797年，德国著名数学家、物理学家、天文学家高斯提出了代数的基本定理，首次证实了一元高次代数方程的根的存在。1819年，霍纳给数值方程根的另一种解法——霍纳法，俗称为劈因子法。（一）一元二次方程的求根代数方程中的一个重要内容是一元二次方程，他是我们学习基本代数的重点和基础，在方程和方程组的进一步研究的基础上有非常重要的作用，如初始知识的功能，二次曲线和不等式等。对于一元二次方程20(0)axbxca的判别式为：24bac。0有两个不相等的实数根。=0有两个不相等的实数根。0有两个不相等的实数根。判别式包括以下几点作用：1、对于数字系数的方程可以先直接计算判别式值，然后根据判别式的值，确定根的情况；2、对于未知系数的一元二次方程，如果已知方程的根的情况，借此可判断判别式的值大于零、等于零还是小于零，从而判断未知系数的取值范围；3、使用配方法，并连接一元二次方程根的判别式，即可证明存在未知系数的一元二次方程根的相关问题。首先，对于20axbxc的方程进行配方化解：20bcxxaa；再同时加上和减去224ba，得：22222244bbbcxxaaaa；两边同时配方：2224()24bbacxaa最后即可得:242bbacxa。根据一元二次方程的两个解，22124422bbacbbacbxxaaa，22124422bbacbbaccxxaaa，这就是著名的韦达定理。韦达定理：法国数学家、艺术家弗朗索瓦•韦达在公元1615年著作《论方程的识别与订正》一书，并且从中建立了系数和方程根之间的关系，提出了该条定理。因为代数方程的系数与根之间存在这种关系是韦达最早发现的，所以这个关系被称为韦达定理。定理定义：设一元二次方程20(0)axbxca中，两根x₁、x₂有如下关系：12bxxa，12cxxa。韦达定理的重要意义：24bac为一元二次方程的根的判别式（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。根的判别式与韦达定理的关系更是非常紧密的。判定方程是否有实根的充要条件是根的判别式值，韦达定理解释了系数与根之间的关系。不论方程有实数根与否，实系数一元二次方程的各个系数与根之间都符合韦达定理。韦达定理与判别式的连接，则更充分有效地解释与判定一元二次方程根的特征和状况。对代数学的推进是韦达定理最重要的贡献，韦达定理最早系统地引入代数符号，加快了方程论的发展，用英文字母等符号来当作未知数，未知数假设设为字母，这样就能明确地表示出了系数与根之间紧密的关系。韦达定理对一元方程和3开拓和应用创造了广阔的发展空间，为数学中的一元多次方程的发展和研究奠定了厚实基础。（二）一元三次方程的求根公式及其推导三次方程是未知项总次数最高为3的整式方程，一元三次方程一般形式为320AxBxCxD（0A），其中A,B,C和D(A≠0)是属于一个域的数字，通常这个域为R或C。实际上，我们在高中的时候，在数学书上也接触过不少的一元三次方程。但是那些一元三次方程往往都是相对比较简单的，就如310x，30xx，还有3220xxx。对与这种一元三次方程我们都能一目了然的找到其解。不过，对于一元三次方程的探究，这点是远远不够的。南宋的数学家秦九韶最晚在公元1247年就已经成功地发现一元三次方程的求根公式，而根据据现在可靠的史料可知，欧洲人是在之后的400多年才发现的。但非常遗憾的是，在中国的课本上依然是用那个欧洲人的名字来命名这个公式的。由于一个一般的一元三次方程320AxBxCxD（0A）均可讲过移轴公式化为23322()()()()0333273BBBBBCAxCxDAAAAA即是332(3)(93)(3)(2927)0AxBACABAxBBABCAD30xpxq的特别形式，所以，研究此类一元三次方程即可。1.实数根的判定：设3()Fxxpxq，则()0Fx既方程30xpxq，()Fx零点的个数即方程30xpxq实数根的个数。（1）若p0，则方程()0Fx没有实根，()Fx有唯一零点()0Fx有唯一实数根。4（2）若p=0，则方程()0Fx有一实根，()Fx有唯一零点()0Fx有唯一实数根。（3）若p0，则方程()0Fx有两实根，为：13px，23px。当231()()(8112)081FFqp时，()Fx有唯一零点()0Fx有唯一实数根。当231()()(8112)081FFqp时，()Fx有两个零点()0Fx有两个实数根。当231()()(8112)081FFqp时，()Fx有三个零点()0Fx有三个实数根。2.实数根的求解设有方程30ypyq令333()()pmnmnqmn代入方程：33333()()()()ypyqymny