传热学教案3

第三章非稳态导热１、重点内容：①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。2、掌握内容：①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。因此，应确定其内部的瞬时温度场。钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。3-1非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：consttτ；2）物体的温度随时间而作周期性变化。如墙体的温度在一天内随室外气温的变化而作周期性变化，在一年内随季节的变化而作周期性变化。我们仅分析前一种非稳态导热过程的特点。如图3-1所示，设一平壁，其初始温度为0t，令其左侧的表面温度突然升高到1t并保持不变，而右侧仍与温度为0t的空气接触，试分析物体温度场的变化过程。物体的温度分布通常要经历以下的变化过程。首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的0t。如图中曲线HBD。随着时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，以致在一定时间后，右侧表面温度也逐渐升高，图中曲线HCD、HE、HF示意性地图3－1非稳态导热过程中的温度分布表示了这种变化过程。最终达到稳态时，温度分布保持恒定，如图中曲线HG（若const＝，则HG是直线）。以上分析表明，在上述非稳态导热过程中，物体种的温度分布存在着两个不同阶段。（1）非正规状况阶段（右侧面不参与换热）温度分布呈现出主要受初始温度分布控制的特性。在这一阶段，物体中的温度分布受初始温度分布很大的影响。（2）正规状况阶段（右侧面参与换热）当过程进行到一定深度时，物体初始温度分布的影响逐渐消失，物体中的温度分布主要取决于边界条件及物性。正规状况阶段的温度变化规律是本章讨论的重点。2）二类非稳态导热的区别：前者存在着有区别的两个不同阶段，而后者不存在。3.特点：非稳态导热过程中，在与热流量方向相垂直的不同截面上热流量不相等，这是非稳态导热区别于稳态导热的一个特点。原因：由于在热量传递的路径上，物体各处温度的变化要积聚或消耗能量，所以，在热流量传递的方向上const。图3－2定性地示出了图3－1所示的非稳态导热平板，从左侧面导入的热流量1及从右侧面导出的热流量2随时间变化的曲线。在整个非稳态导热过程中，这两个截面上的热流量是不相等的，但随着过程的进行，其差别逐渐减小，直至达到稳态时热流量相等。图中有阴影线部分就代表了平板升温过程中所积聚的能量。4.非稳态导热的初始条件导热微分方程式连同初始条件及边界条件一起，完整地描写了一个特定的非稳态导热问题。非稳态导热问题的求解，实质上归结为在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式。这是本章的主要任务。初始条件的—般形式是：zyxfzyxt,,0,,,(3－1)一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即：00,,,tzyxt(3－2)图3-2平板非稳态导热过程中两侧表面上导热量随时间的变化边界条件的表示方法已在第二章中讨论过。二．物体温度分布与边界条件的关系1.物体温度分布与边界条件的关系为了说明第三类边界条件下非稳态导热时物体中的温度变化特性与边界条件参数的关系，分析一简单情形。已知：设有一块厚2的金属平板，初始温度为0t，突然将它置于温度为t的流体中进行冷却，表面传热系数为h，平板导热系数为。由于面积热阻/与h/1的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情况（如图3－3所示）：（1）//1《h这时，由于表面对流换热热阻h/1几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t。随着时间的推移长，平板内部各点的温度逐渐下降而趋近于t，如图3-3（a）。（2）h/1/《这时，平板内部导热热阻/几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点温度接近均匀，并随着时间的推移整体地下降，逐渐趋近于t，如图3-3（b）。（3）h/1与/的数值比较接近这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间，如图3-3（c）。2.与非稳态导热有关的准则数由此可见，表面对流换热热阻h/1与导热热阻/的相对大小对物体中非稳态导热温度场的分布有重要影响。因此，引入表征二者比值的无量纲数：图3－3毕渥数Bi对平板温度场变化的影响毕渥数:(1）定义式：hhBi/1/（3-3）毕渥数属特征数（准则数）。（2）Bi的物理意义：Bi是固体内部导热热阻与其界面上换热热阻之比。其大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。（3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。（4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。3－2集总参数法的简化分析一、集总参数法1．定义：当固体内的h/1/《时，固体内的温度趋于一致，此时可认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下，这时需求解的温度仅是时间的一元函数，而与坐标无关，好象该固体原来连续分布的质量与热容量汇总到一点上，而只有一个温度值那样。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集总参数法。2．集总参数法的计算方法已知：有一任意形状的物体，其体积为V，面积为A，初始温度为0t，在初始时刻，突然将其置于温度恒为t的流体中，且tt0,固体与流体间的表面传热系数h，固体的物性参数均保持常数。设同一时刻物体内温度相等。试根据集总参数法确定物体温度随时间的依变关系及在一段时间内物体与流体间的换热量。解：（1）建立非稳态导热数学模型方法一：椐非稳态有内热源的导热微分方程：czya222222＋＝ttxtt∵物体内部导热热阻很小，忽略不计。∴物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是的一元函数，而与坐标x、y、z无关，即0zy222222＝ttxtVAh，t集总参数法的简化分析则：c＝ddt（a）∵可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）。∴界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：tthAV（b）∵tt,物体被冷却。∴应为负值。由（a）、（b）式得：tthAddtcV＝（3-4）上式即为导热微分方程式。注意：若tt,物体被冷却，上述导热微分方程式仍然成立，大家可考虑一下。方法二：根据能量守恒原理，建立物体的热平衡方程，即：物体与环境的对流散热量=物体内能的减少则有：tthAddtcV＝，与方法一建立的微分方程相同。（2）物体温度随时间的依变关系引入过余温度：tt＝则式（3-4）表示成：hAddcV＝其初始条件为：tt00＝将hAddcV＝分离变量求解微分方程dcVhAd＝对时间从0积分，则：00dcVhAd＝cVhA0ln即：τρcVhA-ttttθθexp00（3-5）其中：vVFoBi(V/A)aτλh(V/A)τρc(V/A)λλAhVτρcVhA22（3-6）V/A是具有长度的量纲，记为l；则：毕渥数：λhlBiV；傅立叶数：2laτFov；说明：VBi、vFo中的特征长度为V/A。故得：vVFoBi-ttttθθexp00（3-7）由此可见，采用集总参数法分析时，物体内的过余温度随时间成指数曲线关系变化。而且开始变化较快，随后逐渐变慢。指数函数中的ρcVhA的量纲与/1的量纲相同，如果时间ρcVhA，则：%8.36368.01exp00-ttttθθ则：ρcVhA称时间常数，记为c。c的物理意义：表示物体对外界温度变化的响应程度。当时间c时，物体的过余温度已是初始过余温度值的36.8%。（3）换热量的计算：确定从初始时刻到某一瞬间这段时间内，物体与流体所交换的热流量，首先求得瞬时热流量：将ddt代入瞬时热流量的定义式得：τρcVhA-tthAτρcVhAρcVhA-ttρcVddtρcVexpexp00（3-8）式中负号是为了使恒取正值而引入的。若tt0（物体被加热）,则用0tt代替tt0即可。然后求得从时间0到时刻间的总热流量：τρcVhAρcV-ttdτρcVhAhA-ttddtρcVdQexp1exp0000（3-9）3.集总参数法的判别条件对形如平板、圆柱和球这一类的物体，如果毕渥数满足以下条件：MλAVhBiV1.0/（3-10）则物体中各点间过余温度的偏差小于5%。其中M是与物体几何形状有关的无量纲数。无限大平板：1M；无限长圆柱：2/1M；球：3/1M。毕渥数的特征长度为AV/，不同几何形状，其值不同：厚度为2的平板：AAAV；半径为R的圆柱：222RRllRAV半径为R的球：343423RRRAV。由此可见，对平板：BiBiV；对圆柱：2/BiBiV；对球体：3/BiBiV。因此，集总参数法的判别条件也可写为：1.0λhlBi，这里l是特征长度，对于平板是指平板的半厚；对于圆柱体和球体，是指半径R。二、毕渥数VBi与傅立叶数vFo的物理意义1.VBi（1）定义：表征固体内部单位导热面积上的导热热阻与单位面积上的换热热阻（即外部热阻）之比，即：λAVhBiV/VBi越小，表示内热阻越小，外部热阻越大。此时采用集总参数法求解的结果就越接近实际情况。（2）物理意义：VBi的大小反映了物体在非稳态导热条件下，物体内温度场的分布规律。2.vFo（1）定义：vFo表征两个时间间隔相比所得的无量纲时间。alFov2＝分子是从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计时刻为止的时间间隔。分母可视为边界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到2l的面积上所需的时间。（2）物理意义：表示非稳态导热过程进行的程度，vFo越大，热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各点的温度越接近周围介质的温度。3－3一维非稳态导热的分析解本节介绍第三类边界条件下无限大平板、无限长圆柱、球的分析解及应用。如何理解无限大物体，如：当一块平板的长度、宽度远大于其厚度时，平板的长度和宽度的边缘向四周的散热对平板内的温度分布影响很少，以至于可以把平板内各点的温度看作仅是厚度的函数时，该平板就是一块“无限大”平板。若平板的长度、宽度、厚度相差较小，但平板四周绝热良好，则热量交换仅发生在平板两侧面，从传热的角度分析，可简化成一维导热问题。一、无限大平板的分析解已知：厚度2的无限大平板，初温0t，初始瞬间将其放于温度为t的流体中，而且0tt，流体与板面间的表面传热系数为一常数。图3－5无限大平板对称受热时坐标的选取试确定在非稳态过程中板内的温度分布。解：如图3-5所示，平板两面对称受热，所以其内温度分布以其中心截面为对称面。对于0x的半块平板，其导热微分方程及定解条件为：0,022xxtat（3-11）xtxt00,0（3-12）0,0xxxt（3-13）xxxttth,,（3-14）引入过余温度txt,，上列四式化为：0,022xxa（3-15）