正定二次型

正定二次型一正定二次型的定义1定义设TfxAx为实二次型，若对任何0x都有0f0,f则称二次型是正定的（负定的），并称其对应的矩阵A为正定矩阵例222212341234(,,,)53fxxxxxxxx是正定的2221234123(,,,)32fxxxxxxx不是正定的（负定矩阵）。注TfxAx为实二次型，若对任何0x都有0f0,f则称二次型是半正定的（半负定的），并称其对应的矩阵A为半正定矩阵设2二次型的正定性与可逆线性变换12(,,,)TnfxxxxAx设有实二次型定理xCy经可逆线性变换得12(,,,)TngyyyyBy其中TBCAC则TfxAx是正定的当且仅当TgyBy是正定的（半负定）矩阵。注:可逆线性变换不改变二次型的正(负)定性.证明：必要性：0y记Cy,x为即xCy由C可逆矩阵可知道0;xTgyByTTyCACy又TCyACyTxAx0.故TgyBy是正定的。对任意的0x记1Cx为即1yCx由1C可逆矩阵可知道0;y11TTTxCCACCx又0.故TfxAx是正定的。充分性：,y11TTCxCACCxTyByTfxAx12(,,,)TnfxxxxAxxCy12(,,,)TngyyyyBy其中TBCAC对任意的二正定的判断方法1：惯性指数判别法TfxAx为正定的当且仅当fn元实二次型定理的正惯性指数pn推论矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正例设n阶矩阵A是正定矩阵，证明1,,mAAA（m为正整数）也正定矩阵注TfxAx为负定的当且仅当n元实二次型的负惯性指数为n2主子式判别法（1）定义设n阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa方阵A的前k行和前k列所成的子式111212122212nnkkkknaaaaaaAaaa称为矩阵A的k阶主子式1,2,,kn（2）TfxAx为正定的当且仅当n元实二次型定理对称矩阵A的各阶主子式都大于零。注TfxAx为负定的当且仅当n元实二次型对称矩阵A的各阶满足(1)01,2,,kkAkn，其中证明：TfxAx为负定的当且仅当二次型TxAx即二次型TxAx为正定的。显然二次型TxAx的k阶主子式为(1)kkA故由定理可得。例1二次型222123121323222ftxtxtxxxxxxx为t满足什么条件时，二次型是正定的；t满足什么条件时，二次型是负定的；解：二次型矩阵为111111tAtt则1At22111tAtt2311111(2)11tAtttt当220,10,1(2)0tttt即2t时二次型是正定的当220,10,1(2)0tttt即1t时二次型是负定的例2判断二次型12111nniiiiifxxx是否是正定的。3定义法例3设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明,AB00AB均是正定矩阵。证明：对任意的0,xTxABxTTxAxxBx0故AB是正定矩阵。对任意的2n维0,y记,y其中,为n维向量由0y可得0或0故00TAyyBTTAA0例4设mnA满足mnRAn证明TAA是正定二次型矩阵。证明：TTAATTTAA,TAA故A是对称矩阵。对任意的0,x由mnRAn可得0mnAx记mnAx则0TTxAAxTTxAAxTxAAxT20故TAA是正定二次型矩阵。例5设A是正定矩阵,证明BAB反对称矩阵,是正定矩阵,证明：对任意的0,xA是正定矩阵,B反对称矩阵,得0,TxAxTxABx0TxBx故对任意的0xTTxAxxBx0AB是正定矩阵,有由