二次函数绝对值的问题练习及答案

二次函数绝对值的问题练习及答案二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1设a为实数，函数2()||1fxxxa，xR（1）讨论()fx的奇偶性；（2）求()fx的最小值解；（1）0a时，fx为偶函数0a时，fx为非奇非偶函数（2）22222131,24()||1131,24xxaxaxafxxxaxxaxaxa当min13,24afxa当2min11,122afxa当min13,24afxa例2已知函数1)(2xxf，|1|)(xaxg.(1)若关于x的方程)(|)(|xgxf只有一个实数解，求实数a的取值范围；(2)若当Rx时，不等式)()(xgxf恒函数成立，求实数a的取值范围；(3)求函数)(|)(|)(xgxfxh在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）.解：（1）方程|()|()fxgx，即2|1||1|xax，变形得|1|(|1|)0xxa，显然，1x已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|xa，有且仅有一个等于1的解或无解，结合图形得0a.（2）不等式()()fxgx≥对xR恒成立，即2(1)|1|xax≥（*）对xR恒成立，①当1x时，（*）显然成立，此时aR；②当1x时，（*）可变形为21|1|xax，令21,(1),1()(1),(1).|1|xxxxxxx因为当1x时，()2x，当1x时，()2x，所以()2x，故此时2a≤.综合①②，得所求实数a的取值范围是2a≤.（3）因为2()|()|()|1||1|hxfxgxxax=2221,(1),1,(11),1,(1).xaxaxxaxaxxaxax≤≥当1,22aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]上递减，在[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，经比较，此时()hx在[2,2]上的最大值为33a.当01,22aa即0≤≤≤≤时，结合图形可知()hx在[2,1]，[,1]2a上递减，在[1,]2a，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，2()124aaha，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为33a.当10,02aa即-2≤≤时，结合图形可知()hx在[2,1]，[,1]2a上递减，在[1,]2a，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3haha，2()124aaha，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为3a.当31,222aa即-3≤≤时，结合图形可知()hx在[2,]2a，[1,]2a上递减，在[,1]2a，[,2]2a上递增，且(2)330ha,(2)30ha≥，经比较，知此时()hx在[2,2]上的最大值为3a.当3,322aa即时，结合图形可知()hx在[2,1]上递增，在[1,2]上递减，故此时()hx在[2,2]上的最大值为(1)0h.综上所述，当0a≥时，()hx在[2,2]上的最大值为33a；当30a≤时，()hx在[2,2]上的最大值为3a；当3a时，()hx在[2,2]上的最大值为0.练习：1.已知函数2||)(2axxxf.（1）讨论函数)(xf的奇偶性；（2）求函数)(xf的最小值2.已知函数221()fxxmxmR（1）若2m，0,3x，求maxminDfxfx的值（2）若0,2x时，8fx恒成立，求m的取值范围3.已知函数|21|21)(2axxxf，其中a是实数.（1）判断)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）当]1,1[x时，)(xf的最小值为221a，求a的值答案：1.（1）0a函数为偶函数0a非奇非偶函数（2）22117,2(),24xafxxxaxa22217,224xafxxxaxa2min71,4211()2,2271,42aafxaaaa2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置当0,mfx在0,2上递增，32804fm当02,mfx在0,m上递减，,2m上递增833428fmmf当2,mfx在0,2上递减132824fm综上所述：31344m3.（1）①当21a时，||21)(2xxxf，有)()(-xfxf，所以)(xf为偶函数；②当21a时，0|21|)0(af，所以)(xf不是奇函数；又因为2)12(21)1-2(aaf，而|21|2)12(21)2-(12aaaf，即)12()2-(1afaf，所以)(xf不是偶函数；综上，当21a时，)(xf既不是奇函数也不是偶函数.（2）2213(1)2,2122()11(1)2,2122xaxafxxaxa①若112a，即0a，当]1,1[x时，axaxxxf221)1(212121)(22，故)(xf在]1,1[上递增，所以afxf221)1()(min221a，得52a.②若112a，即1a，当]1,1[x时，axaxxxf223)1(212121)(22，故)(xf在]1,1[上递减，所以afxf223)1()(min221a，得1a或3a.③若1121a，即10a，)112(221)1(21)121(223)1(21)(22xaaxaxaxxf故)(xf在]12,1[a上递减，在]1,1[2a上递增；所以22min212122)12()(aaaafxf，得31a.综上，52a或31a或1a或3a.