11.2.3.4.5.6.有四批零件,第一批有2000个零件,其中5%是次品。第二批有500个零件,其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件,次品约占10%。我们随机地选择一个批次,并随机地取出一个零件。(1)问所选零件为次品的概率是多少?(2)发现次品后,它来自第二批的概率是多少?解:(1)用iB表示第i批的所有零件组成的事件,用D表示所有次品零件组成的事件。123414PBPBPBPB12341002000.050.420005001001000.10.110001000PDBPDBPDBPDB11110.050.40.10.10.16254444PD(2)发现次品后,它来自第二批的概率为,2220.250.40.6150.1625PBPDBPBDPD7.8.9.设随机试验X的分布律为X123P0.20.50.3求X的概率密度和分布函数,并给出图形。解:0.210.520.33fxxxx0.210.520.33Fxuxuxux10.211.设随机变量X的概率密度函数为()xfxae,求:(1)系数a;(2)其分布函数。解:(1)由()1fxdx00()2xxxfxdxaedxaedxedxa所以12a(2)1()2xxtFxftdtedt所以X的分布函数为1,0211,02xxexFxex12.13.14.若随机变量X与Y的联合分布律为YX-10100.070.180.1510.080.320.20求:(1)X与Y的联合分布函数与密度函数;(2)X与Y的边缘分布律;(3)ZXY的分布律;(4)X与Y的相关系数。(北P181,T3)解:(1),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1Fxyuxyuxyuxyuxyuxyuxy,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1fxyxyxyxyxyxyxy(2)X的分布律为00.070.180.150.4010.080.320.200.60PXPXY的分布律为10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35PYPYPY(3)ZXY的分布律为3111,10.080001,00.400.320.72111,10.20PZPXYPXYPZPXYPXPXYPZPXYPXY(4)因为00.4010.600.6010.1500.5010.350.20EXEY10.0800.7210.200.12EXY则ov,0.120.600.200CXYEXYEXEYX与Y的相关系数0XY,可见它们无关。15.16.设随机变量~0,1XN,~0,1YN且相互独立,UXYVXY。(1)随机变量,UV的联合概率密度,UVfuv;(2)随机变量U与V是否相互独立?解:(1)随机变量,XY的联合概率密度为22221,,,2xyXYfxyexyR由反函数22uvxuvy,1112211222J,22241,,,4uvUVfuveuvR(2)由于,2222444111422uvuveee2,,UVUVfuvfufvuvR所以随机变量U与V相互独立。17.18.19.420.21.已知对随机变量X与Y,有1EX,3EY,()4DX,()16DY,0.5XY,又设3UXY,2VXY,试求EU,EV,()DU,()DV和(,)CovUV。解:首先,22()()5EXDXEX,22()()25EYDYEY。又因为()(,)()()7XYEXYCovXYEXEYDXDYEXEY。于是(3)36EUEXYEXEY,(2)25EVEXYEXEY22222()()(96)()76DUEUEUEXXYYEU22222()()(44)()52DVEVEVEXXYYEV22()(3)(2)(352)70EUVEXYXYEXXYY(,)()40CovUVEUVEUEV22.23.24.已知随机变量X服从[0,]a上的均匀分布。随机变量Y服从[,]Xa上的均匀分布,试求(1)(),(0)EYXXa;(2)EY解:(1)对[0,]xa有,()2aXEYX(2)/23(())224aXaaEYEEYXEa25.设太空梭飞行中,宇宙粒子进入其仪器舱的数目N服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p,彼此独立。求:造成损坏的粒子平均数目。(北P101,T10)解:每个粒子是否造成损坏用iX表示1,1,2,,0iXiN造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1NiiYX,于是511(|)(|)|nniiiiEYNnEXNnEXNn可合理地认为N和iX是独立的,于是1(|)niiEYXnEXnp()(|)EYEEYNENppENp26.27.随机变量123,,XXX彼此独立;且特征函数分别为123(),(),()xxx,求下列随机变量的特征函数:(1)12XXX;(2)123XXXX;(3)12323XXXX;(4)1232410XXXX;解:(1)12()()()jvXXvEevv(2)同(1),123()()()()Xvvvv(3)12323123()()(2)(3)jvXXXXvEevvv(4)123241010123()(2)()(4)jvXXXjvXvEeevvv28.随机变量X具有下列特征函数,求其概率密度函数、均值、均方值与方差。(1)2424()0.20.30.20.20.1jvjvjvjvveeee;(2)()0.30.7jvjvvee;(3)()4/(4)vjv;(4)()(sin5)/(5)vvv;解:(1)0.20.320.240.220.14fxxxxxx(0)/20.340.220.240.10.6EXj22222(0)20.340.220.240.16.8EX6226.80.366.44VarXEXEX(2)0.310.71fxxx(0)/10.310.70.4EXj222(0)10.310.71EX2210.160.84VarXEXEX(3)利用傅里叶变换公式,可知这是指数分布,44()xfxeux201(0)/4(4)4vEXjjv2301(0)8(4)8vEXjv22111()81616VarXEXEX。(4)sin512sin5()510vvvvv,利用傅里叶变换公式,可知这是均匀分布,1,55100,xfx其他0EX,21025123VarX,22253EXVarXEX。29.利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。解:由于()fx是宽度为ba,高度为1ba,中心在2ab处的矩形函数。其傅立叶变换为()22sin()/21()jvabvbaFvebav()2sin()2()()()2()jvbjvajvabXvbaeevFvevbajvba30.31.32.设有高斯随机变量2~(,)XN,试利用随机变量的矩发生特性证明:7(1)EX(2)222EX(3)3233EX解:特征函数为22()exp(2)Xvjvv,由矩发生性质,22220()(0)()()ejvvXvEXjjjv222222222222220()(0)()()eejvvjvvXvEXjjjv2222333232222230()(0)()()e3()e3XjvvjvvvEXjjjvjv2.12.22.3掷一枚硬币定义一个随机过程:cos()2tXtt出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求:(1)()Xt的一维分布函数(,12)XFx,(,1)XFx;(2)()Xt的二维分布函数12(,;12,1)XFxx;(3)画出上述分布函数的图形。2.3解:(1)X(0.5)01P0.50.5X(1)-12P0.50.5一维分布为:0,0(,0.5)0.5,011,1XxFxxx80,1(,1)0.5,121,2XxFxxx(2)X(1)X(0.5)-1200.50100.5二维分布函数为1111210,0011(,;0.5,1)0.5,2121,1,2xxxFxxx2222或x-1或xxx2.4假定二进制数据序列{B(n),n=1,2,3,….}是伯努利随机序列,其每一位数据对应随机变量B(n),并有概率P[B(n)=0]=0.2和P[B(n)=1]=0.8。试问,(1)连续4位构成的串为{1011}的概率是多少?(2)连续4位构成的串的平均串是什么?(3)连续4位构成的串中,概率最大的是什么?(4)该序列是可预测的吗?如果见到10111后,下一位可能是什么?2.4解:解:(1)由题已知B(n,s)是贝努里随机序列,即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列,利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积,与数据是否连续并无关系,所以有:10111011PPBnPBnPBnPBn0.80.20.80.80.1024(2)设连续4位数据构成的串为B(n),B(n+1),B(n+2),B(n+3),n=1,2,3,….其中B(n)为离散随机变量,由题意可知,它们是相互独立,而且同分布的。所以有:串(4bit数据)为:30)(2)(kkknBnX,其矩特性为:因为随机变量)(nB的矩为:均值:8.08.012.00)]([nBE方差:22222()00.210.80.8VarBnBnBn20.80.80.810.80.80.20.169所以随机变量)(nX的矩为:均值:128.02)]([2)]([3030kkkkknBEnXE方差:6.1316.04)]([)2()]([30302kkkkknBDnXD如果将4bit