搜索
1第1讲最值系列之费马点皮耶德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．阿哈哈哈，此处一个也用不上！其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！算了算了，不墨迹了，直接报答案了：若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论2个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？2一、如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．（点A到两边距离相等）有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC120°，若120BAC,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．3二、为什么是这个点【例题1】为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．4没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QEBE．【练习2】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝5，BC＝3，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值，并确定当PA＋PB＋PC取得最小值时，∠APC的度数__________.5【练习3】如图，矩形ABCD中，AB＝32，BC＝6，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值是________.【练习4】如图，在△ABC中，P为平面内一点，连结PA，PB，PC，分别以PC和AC为一边向右作等边三角形△PCM和△ACD．【探究】求证：PM＝PC，MD＝PA【应用】若BC＝a，AC＝b，∠ACB＝60°，则PA+PB+PC的最小值是（用a，b表示）【探究】由等边三角形的性质得出PM＝PC，AC＝CD，PC＝CM，∠PCM＝∠ACD＝60°，得出∠PCA＝∠MCD，证明△ACP≌△DCM，得出MD＝PA；6【练习5】已知正方形ABCD内一动点E到A，B，C三点的距离之和的最小值为62求此正方形的边长．7、【练习6】已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。求证：GA+GB+GC最小8【练习7】如图，P是边长为1的等边△ABC内的任意一点，求t=PA+PB+PC的取值范围.910【练习8】如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．11【练习9】已知三个村庄A，B，C构成了如图所示的△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)，现选取一点P作为打水井，使水井P到三个村庄A，B，C所铺设的输水管总长度最小．求输水管总长度的最小值_________．找一点P连接PA、PB、PC△PBC绕点B旋转60°12【练习10】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，222BDBHDH即可得出结果．13【练习11】问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH=2210016229NQHQ．