高考立体几何压轴题精选

《高中复习资料》数学1ABCDEF1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为()A,3827aB,38327aC,313aD,389a2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为()A,3:2:1B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:33．设二面角a的大小是060,P是二面角内的一点,P点到,的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱a的距离是()A,2213cmB,213cmC,23cmD,4213cm4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=a,则此正三棱锥的体积是()A,324aB,3224aC,3212aD,3312a5．棱长为的正八面体的外接球的体积是()A,6B,4327C,823D,236．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面的位置关系是.7．若异面直线,ab所原角为060,AB是公垂线,E,F分别是异面直线,ab上到A,B距离为2和平共处的两点,当3EF时,线段AB的长为.8．如图(1),在直四棱柱1111ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有1AC1B1D(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)《高中复习资料》数学2CDFABOCDEOAABCDPQ9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB与EF所连直线平行;②AB与CD所在直线异面;③MN与BF所在直线成060;④MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将ADE沿DE折起来使得A到1A,且1ADEB为060的二面角,求1A到直线BC的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(0)a,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角QPDA的正切.12.已知三角形ABC的顶点分别是A(123)、B(345)、C(247)求三角形ABC的面积ABCDABCD图(1)ABENM图(2)《高中复习资料》数学3DOBCAPxyz13.在正四棱柱1111ABCDABCD中，122ABBB，P为B1C1的中点．（1）求直线AC与平面ABP所成的角；（2）求异面直线AC与BP所成的角；（3）求点B到平面APC的距离．14.如图,正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为26。（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成的角的正切值；（3）在侧面PAD上寻找一点F使EF⊥侧面PBC，试确定F的位置并证明。15：在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少16.如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝12PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证OD∥平面PAB；(Ⅱ)求直线OD与平面PBC所成角的正弦．PPEDCBA《高中复习资料》数学417.如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2奎屯王新敞新疆（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的余弦．18.已知圆柱的底面半径为3，高为4，A、B两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB与轴OO/之间的距离。19.简单选填题1、已知,是平面，m，n是直线，给出下列命题：①若，则mm,；②若//,////,,则，nmnm；③如果与是异面直线，那么、nnmnm,,相交；图1ABCDO1O图2BCDAO1O图3BCDAyxO1OzAOO/B《高中复习资料》数学5④若.////,//,nnnnmnm且，则，且其中正确命题的个数是（）A．4B．3C．2D．12、已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面,，有下列命题①若//,,//mnnm则；②若//,//,则且mlml；③若//,//,//,,则nmnm；④若nmnnm则,,,,；其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．43、α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件：①a//α、b；②a⊥α、b//；③a⊥α、b；④a//α、b//且a与α的距离等于b与β的距离.其中是a⊥b的充分条件的有（）A．①④B．①C．③D．②③4、已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面,，有下列命题①若//,,//mnnm则；②若//,//,则且mlml；③若//,//,//,,则nmnm；④若nmnnm则,,,,；其中正确的命题个数是A．1B．2C．3D．45、若l、m、n是互不相同的空间直线，,是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是A．若∥β，,lan，则l∥nB．若⊥β，la，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥，l∥β，则⊥β6、若二面角l为，直线m，直线n，则直线m与n所成的角取值范围是A．B．C．D．7、已知直线l与平面成045角，直线m，若直线l在内的射影与直线m也成45°角，则l与m所成的角是A．30°B．45°C．60°D．90°8、设正方体ABCD-A1B1C1D1中E，F分别是棱A1A，B1B中点，G为BC上一点，若C1F⊥EG，则FGD1为（）A．60°B．90°C．120°D．150°9、已知三棱锥BCDA中，0060,,1,90ADBBCDABCDBCBCD面，点E、F分别在AC、AD上，使面CDEFACDBEF//,且面，则平面BEF与平面BCD所成的二面角的正弦值为（）ABCD10、从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60°，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球66774231[,]62[,]32[,]63(0,)256《高中复习资料》数学6的体积为4π3，则OP的距离为（）A．2B．3C．32D．211、直线l与平面成45°角，若直线l在内的射影与内的直线m成45°角，则l与m所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8B．6C．4D．13、已知线段AB在平面外，AB两点到平面的距离分别是1和3，则线段AB中点到平面的距离是__________.14、正三棱锥P－ABC的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为23，则正三棱锥的底面边长是____________.15、(江苏省启东中学高三综合测试三)三棱锥P－ABC的四个顶点点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2,AC=BC=1，则此球的表面积为。16、四面体ABCD中，共顶点A的三条棱两两相互垂直，且其长分别为361、、，若四面体的四个顶点同在一个球面上，则这个球的表面积为。答案：1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,1O为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为m,则AM=32m=VM,1OM=1336AMm,12333OAAMm,221163VOVMOMm,得1163OOVOVOma在1RtAOO中,22211AOOOAO,即22263()()33amam,得263ma.则1VO43a,有20311183(sin60)3227VABCVmVOa.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径VO:内切球的半径1OO=1:3:13aa.2．32212341::():(2):(2)2:3:133VVVRRRRR,选B.3．设PA棱a于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=t,PAM,则《高中复习资料》数学70sin1sin(60)2tt,得3cos5sin,有3sin27或327(舍去),所以121sin3tcm,选B.4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得090BACCADBAD,于是22ABACADa.3112222()3222224BACDVaaaa,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有22r,得22r,外接球的体积34233Vr,选D.6．当2AB时,AB//;当2AB时,AB//或AB;当2AB时,AB//或与斜交.7．由EFEAABBF,得22222cosEFEAABBFEABF(1)当060时,有219412212AB,得2AB;(2)当0120时,有219412212AB,得6AB.8．ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体NACFEMBD,可得只②,④正确.10．解:设ABC的高AO交DE于点1O,令1AOx,由AO=2213512,有112OOx,在11AOO中,01160AOO,有222011111112cos60AOAOOOAOOO得213(6)36AOx.当6x时,1A到直线BC的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设BQx,则Q(1,,0)x,P(0,0,1),D(0,,0)a得(1,,1)PQx,(1,,0)QDax由PQQD,有(1,,1)(1,,0)0xax,得210xax①《高中复习资料》数学8若方程①有解,必为正数解,且小于a.由2()40a,0a,得2a.(i)当2a时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当02a时,BC上不存在点Q,使PQQD.(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,这时,2()40a,得2a,有1x.又平面APD的法向量1(1,0,0)n,设平面PQD的法向量为2(,,)nxyz而(1,1,0)QD,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD,由2200nQDnPD,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0xyzxyz,解得,2xyzy有2(1,1,2)n,则121212(1,0,0)(1,1,2)1cos,166nnnnnn,则12tan,5nn所以二面角QPDA的正切为5.12.根据向量积的定义可知三角形ABC的面积||21sin||||21ACABAACABSABC由于AB(222)AC(124)因此421222kjiACAB4i6j2k于是142)6(421|264|21222kjiABCS13.（1）∵AB⊥平面BC1，PC平面BC1，∴AB⊥PC在矩形BCC1B1中，BC=2，BB1=1，P为B1C1的中点，∴PC⊥PB∴PC⊥平面ABP，∴∠CAP为直线AC