不定积分与定积分部分典型例题

不定积分与定积分部分典型例题例1验证2)ln1(21)(xxF和xxxGlnln21)(2是同一个函数的原函数,并说明两个函数的关系.分析依原函数的定义,若)(xF和)(xG的导数都是某个函数)(xf的原函数,即有)()()(xfxGxF,则)(xF和)(xG是)(xf的原函数.所以,只需验证)(xF和)(xG的导数是否为同一个函数即可.解因为xxxxxFln11)ln1()(xxxxxxGln111ln)(所以2)ln1(21)(xxF和xxxGlnln21)(2是同一个函数xxln1的两个原函数.且有21)(21lnln21)ln1(21)(22xGxxxxF说明两个原函数之间仅相差一个常数.例2已知某曲线y=f(x)在点x处的切线斜率为x21,且曲线过点)3,4(,试求曲线方程.分析根据不定积分的几何意义,所求曲线方程为过点)3,4(,斜率是xxf21)(的积分曲线.解cxxxxxfyd21d)(且曲线过点)3,4(,即c43,得出143c于是所求曲线方程为1xy例3判断下列等式是否正确.（1）xxxxd11d11d22（2）cxxxcosd)(sin（3）21dlndde1xxxx分析（1）,（2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解（1）依照不定积分的性质xxfxxfd)(d)(d所以,等式xxxxd11d11d22成立.（2）依照不定积分的性质cxfxxf)(d)(所以,等式cxxxcosd)(sin不成立.正确的应为cxxxsind)(sin（3）由定积分定义,)()(d)(aFbFxxfba是一个确定的数值,因此,对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数,所以结果应该为零.即等式21dlndde1xxxx错误,正确的结果应为0dlndde1xxxx.例4计算下列积分：（1）xxxd)1(23（2）xxxxx)dsine(3e2（3）xxdsin20分析对于（1）,（2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形；对于（3）,注意到被积函数带有绝对值符号,而在积分时,绝对值符号是一定要打开的,且在积分区间]2,0[上有2sin0sinsinxxxxx利用定积分的区间可加性和N-L进行计算.解（1）将被积函数变形为32312)1(xxxxxxxxd)1(23=xxxxxxxxxxd1d2dd)12(33=cxxx2221ln221.（2）将被积函数变形为xxxxxx22sin1e)3()sine(3e再利用积分公式和积分运算性质得xxxxx)dsine(3e2xxxxdsin1de)3(2=cxxcot13ln)e3((3)2020dsindsindsinxxxxxx)]1(1[]11[coscos20xx4.说明：本例在求积分的方法直接积分法.这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质,或者对被积函数进行适当变形就可以运用积分公式求积分的题目.在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）,变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合.这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次,进行不同的变形后仍无法达到目的,则应考虑其它积分方法求解.例5计算下列积分：（1）xxxd12；（2）xxxd)e(1e2（3）xxxdlne12（4）xxdsin203分析注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(xu,设法将对x求积分转化为对)(xu求积分.对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点,即“换元变限”.（1）将被积函数21xx看成ux,其中21xu,且xxud2d,于是,uuxuxd121d,这时对于变量u可以利用公式求积分.（2）将被积函数2)e(1exx看成2eux,其中xue1,且xuxded,于是22ddeuuxux,这样对于变量xue1可以利用积分公式求积分.（3）将被积函数xx2)(ln看成xu2,其中xuln,且xxud1d,于是xxud2uud2,这样对于变量xuln可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数x3sin分解成xxxxxxxsincossinsin)cos1(sinsin222即分成两个函数积分的和,第一个积分可以由N-L公式直接得到,第二个积分中被积函数视为xusin2,其中xucos,xxudsind解（1）xxxd12=uuxxd121)1d(112122)1(2xu=cxcu21（2）uuxxxxxd1)e1(d)e(11d)e(1e222（xue1）=ccuxe111（3）[方法1]换元换限.令xuln,则xxud1d,且当1x时,0u,ex时,1u,于是有31)01(3131ddln33103102e12uuuxxx[方法2]只凑微分不换元,不换积分限.)d(lnlndlne12e12xxxxx31])1(ln)e[(ln31)(ln3133e13x(4)因为xxdsin203=xxxxxxxxdsincosdsindsin]cos1[20220202对于积分1cosdsin2020xxx对于积分xxxdsincos202用凑微分法,[方法1]令xucos,则xxudsind,且当0x时,1u,2x时,0u,于是有3131ddsincos103012202uuuxxx[方法2]只凑微分不换元,不换积分限.31cos31dcoscosdsincos203202202xxxxxx说明：第一换元积分法是积分运算的重点,也是难点.一般地,第一换元积分法所处理的函数是复合函数,故此法的实质是复合函数求导数的逆运算.在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分uufd)(容易求原函数.应用第一换元积分法时,首先要牢记积分基本公式,明了基本公式中的变量x换成x的函数时公式仍然成立.同时还要熟悉微分学中的微分基本公式,复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式.具体解题时,“凑微分”要朝着uufd)(容易求积分的方向进行.在定积分计算中,因为积分限是积分变量的变化范围,当积分变量发生改变,相应的积分限一定要随之变化,所以,在应用换元积分法解题时,如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）.则积分限不变.而且在换元换限时,新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限,新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限,当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的,技巧性较强,一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此,我们只有通过练习摸索规律,提高解题能力.例6计算下列积分：（1）xxxd1)sin2(；（2）202dexxx；（3）ee1dlnxx分析注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及vu,的选择可以参照表3-1,具体步骤是：1．凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为xvd,即vxvdd,使积分变为vud；2．代公式,uvuvvudd,计算出xuudd3．计算积分uvd.在定积分的分部积分公式是bababauvuvvudd,它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限.注意公式中bauv是一个常数,在计算中应随时确定下来,在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号,这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解（1）设xvxu2sin,1,则xv2cos21,由分部积分公式有xxxxxxxd2cos212cos)1(21d1)sin2(cxxx2sin412cos)1(21(2)设2e,xvxu,则2e2xv,由定积分分部积分公式有44e4e4e4e4de2e2de202202202202xxxxxxxx（3）因为e1ln1e1lnlnxxxxx,利用积分区间的可加性得到e11e1ee1dlndlndlnxxxxxx其中第一个积分为1e11e11e1dlndlnxxxxxxx1e2e11e1第二个积分为11eedlndlne1e1e1xxxxx,最后结果为e221e21dlndlndlne11e1ee1xxxxxx.例7计算下列无穷限积分：（1）xxd)1(113；（2）02dexx；（3）0dln1xxx分析对于无穷限积分axxfd)(的求解步骤为：（1）求常义定积分baaFbFxxf)()(d)(；（2）计算极限)]()([limaFbFb极限存在则收敛（或可积）否则发散.收敛时积分值等于极限值.解（1）])1(21[limd)1(1limd)1(1121313bbbbxxxxx=)41()21(])11()1[(lim2122bb81（2）]e31[limdelimde030303bxbbxbxxx31]ee[31[lim03bb(3)bbbbxxxxxxeee)ln(lnlim)d(lnln1limdln1说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的,上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d)1(11213xxx（2）31]e31[de0303xxx（3）exxxxxx)ln(ln)d(lnln1dln1ee.