二次型论文

绥化学院本科毕业设计（论文）二次型及应用学生姓名：学号：年级：指导教师：SuihuaUniversityGraduationPaperQuadraticFormandItsApplicationsStudentnameStudentnumberMajorSupervisingteacherSuihuaUniversity摘要II二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题．首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中的应用．一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速．关键词：二次型；标准型；矩阵；应用AbstractIIIQuadraticformisoneoftheimportcontentsinlinearalgebra,whichoriginatedfromproblemofputquadraticcurveequationandquadricequationintostandardforminanalyticgeometry.Firstly,thepaperintroducesbasictheories.Secondly,thepaperstudiesapplicationsofquadraticform,includingextremumproblemsofmulti-variablefunctions,linearleastsquaremethod,provinginequalityandquadraticcurve.Someproblemcanbeconvertedintoquadraticformtosolve,whichisconvenientandfast.Keywords:quadraticform;standardform;matrix;applications目录摘要.....................................................................................................................................IIIVAbstract..................................................................................................................................II第1章二次型的基本理论....................................................................................................1第1节二次型的概念及相关定义......................................................................................................2第2节替换后的二次型与原二次型的关系...................................................................................3第3节写出二次型的方法....................................................................................................................3第4节二次型的标准型.........................................................................................................................4第5节二次型在复数域下的规范型.................................................................................................8第6节二次型的一般定理..................................................................................................................10第2章二次型的应用..........................................................................................................12第1节多元函数极值............................................................................................................................12第2节线性最小二乘法.......................................................................................................................15第3节证明不等式................................................................................................................................17第4节二次曲线.....................................................................................................................................19结论....................................................................................................................................21参考文献................................................................................................................................22致谢......................................................................................................错误!未定义书签。绥化学院2013届本科生毕业论文1第1章二次型的基本理论在这一节,我们首先回顾《高等代数》]1[中关于二次型的一般理论．设P是一个数域，Paij，n个文字nxxx,,21的二次齐次多项式,22222,,,11222322322221131132112211121ninjjiijnnnnnnnnxxaxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型．当ija为实数时，称f为实二次型；当ija为复数时，称f为复二次型．设n阶对称矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211,则n元二次型可表示为下列矩阵形式AXXxxxaaaaaaaaaxxxxxxfTnnnnnnnn212122221112112121),,,(),,,(.其中TnxxxX),,,(21L.对称矩阵A称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵．二次型与非零对称矩阵一一对应．即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之,给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵．如果二次型中只含有文字的平方项．即222221121,,,nnnxdxdxdxxxf,绥化学院2013届本科生毕业论文2称f为标准型.在《高等代数》]3[的教材中，还有以下关于二次型理论的结果．第1节二次型的概念及相关定义1.1二次型的表示二次型nxxxf,,,21可唯一的表示成：AXXxxxfTn,,,21，称为二次型的矩阵形式，其中，TnxxxX,,,21，nnijaA为对称矩阵，称A为二次型的矩阵(都是对称矩阵)，称A的秩为二次型f的秩．]4[1.2线性替换]2[设nnyyyxxx,,,;,,,2121是两组文字，系数在数域P中的一组关系式.......22112222121212121111nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx，，（1－1）称为由nxxx,,,21到nyyy,,,21的一个线性替换，或简称线性替换．用矩阵形式可写为CYX,其中TnxxxX,,,21，nnijcC，TnyyyY,,,21．如果系数行列式0C，那么线性替换（1-1）就称为非退化的(或可逆的,或满秩的)．数域P上的nn矩阵BA,称为合同的，如果有数域P上的可逆的nn矩阵C，使ACCBT．1.3二次型的正定、负定与不定]9[设nxxxf,,,21是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数nccc,,,21，如果都有0,,,21ncccf，那么nxxxf,,,21称为正定的；如果都有0,,,21ncccf，那么nxxxf,,,21称为负定的；如果都有0,,,21ncccf，那么nxxxf,...,,21称为半正定的；如果都有0,,,21ncccf，那么nxxxf,,,21称绥化学院2013届本科生毕业论文3为半负定的；如果它既不半正定又不半负定，那么nxxxf,,,21就称为不定的．第2节替换后的二次型与原二次型的关系设AXXxxxfTn,,,21，TAA,是一个二次型，作非退化线性替换CYX，(1－2)我们得到一个nyyy,,,21的二次型BYYyyyfTn,,,21，(1－3)把（1－3）代入（1－2），有BYYYACCYACYCYCYACYAXXxxxfTTTTTTTTn,,,21，容易看出，矩阵ACCT也是对称的．事实上，ACCCACACCTTTTTT)(，由此，即得ACCBT这就是前后两个二次型的矩阵关系．数域P上nn矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的nn矩阵C，使ACCBT．因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．第3节写出二次型的方法正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础．对于含n个变元的二次型nxxxf,,,21，可以按下述方法得到二次型的矩阵nnijaA，A的主对角线上的元素依次为二次型的平方项22221,,,nxxx的系数，而A的第i行第j列元素jiaij是交叉项jixx的系数的一半，在取jiaajiij即得到对称矩阵A，于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为AXXT，其中Tnxxxx,,,21．注一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵，原因之一是使得二次型矩阵是唯一确定的．例1写出二次型的矩阵：