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专题07长方体的再认识【考点剖析】1.长方体的元素.元素：长方体有面，棱，顶点；长方体的每个面都是；特征：长方体的十二条棱可分成，每组四条棱；长方体的六个面可分成三组，每六个十二条八个长方形三组长度相等形状、大小平行四边形平面ABC组中两个面的都相等.概念：平面是平的，无边无沿平面表示：用表示；记作,D平或面①②③2.长方体的直观图,ADDAB=45AABCDEBFCGDH方法：画使AB等于长方体的，等于长方体，；画四条高、、、；步骤：顺次联结将被遮住的部分改成(或隐藏线)斜二侧画法长宽.的一半虚线①②④EFGH③;DHGFECBA3.长方体中棱与棱的关系ABABABC2G4相交：如棱与棱BC相交；平行：如：棱棱HG;异面:既不也不；如：棱与棱异面.长方体中一共有对异面直线.平行相交∥4.长方体中棱与平面的关系AEABCDEFABCD；直线与平面垂直：如：棱平面；检验方法；；直铅垂线法三角尺法合页型折纸铅垂线法长方形纸片线与平面平行：如：棱平面；检验方法.①②③.①∥②5.长方体中平面与平面的位置关系ADHEABCDEFGHABCD；垂直：如：平面平面；检铅垂线法合页型折验；.平行：如：平面平面；检验方法：.纸三角尺长方形纸片①②③∥【典例分析】例题1（杨浦）在一个正方体中，异面的棱的对数为（）（A）4对；（B）12对；（C）24对；（D）48对．【答案】C；【解析】在正方体中，一共有12条棱，对于其中任何一条棱均有4条棱与之异面，故一共有48对，考虑重复一次计数，故48÷2=24.例题2（金山2018期末4）下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（）．（A）铅垂线；（B）三角尺；（C）长方形纸片；（D）合页型折纸【答案】C；【解析】可以用来检验直线与平面垂直的方法有：铅垂线、三角尺、合页型折纸等；长方形纸片不能，故选C.例题3（普陀）将两个边长为2cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了________2cm.【答案】8；【解析】表面积减少的面积是重合的两个面的面积，故减少了2222=8cm.例题4（普陀）如图1所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A垂直的面用图中字母表示出来是.【答案】B、C、E、F；【解析】在正方体中与之相对的平面互相平行，与之相邻的面互相垂直；故此正方体中，与A平行的平面是D，与A垂直的平面是B、C、E、F.例题5（杨浦）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与AE平行的棱是．【答案】棱DH、棱CG、棱BF；【解析】在长方体ABCD－EFGH中，与AE平行的棱是棱DH、棱CG、棱BF.例题6（杨浦）如图，在长方体ABCD－EFGH中，可以把平面ABFE与平面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面ABCD．【答案】BF；【解析】把平面ABFE与平面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页形折纸，从而说明棱BF平面ABCD.例题7（普陀2018期末16）如果长方体的顶点数记作V，棱数记作E，面数记作F，那么VEF的值等于.【答案】2；【解析】长方体的顶点数为V=8，棱数E=12，面数F=6，故81262VEF.例题8（虹口2017期末25）（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCD-A1B1C1D1的直观图，并标出顶点的字母；（2）联结AC、A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AA1C1C平行的棱为__________．A1B1C1DCBA【答案与解析】（1）补全图形如下；（2）DDBB11和；ABCDA1D1B1C1ABCDA1D1B1C1【真题训练】一、选择题1．（浦东2018期末5）下列说法中，正确的是（）（A）长方体中任何一个面都与两个面平行；（B）长方体中任何一个面都与两个面垂直；（C）长方体中与一条棱平行的面只有一个；（D）长方体中与一条棱垂直的平面有两个．【答案】D；【解析】长方体中任何一个面都与一个面平行，故A错误；长方体中任何一个面都与四个面垂直，故B错误；长方体中与一条棱平行的面有两个，故C错误；长方体中与一条棱垂直的面有两个，故D正确；因此选D.2．（奉贤2018期末6）下列说法中，正确的是（）A．联结两点的线段叫做两点之间的距离；B．用度量法和叠合法都可以比较两个角的大小；C．六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体；D．空间两条直线间的位置关系只有相交和平行两种．【答案】B；【解析】联结两点的线段的长度叫两点之间的距离，故A错误；用度量法和叠合法可以比较两个角的大小，故B正确；六个面、十二条棱和八个顶点不一定组成长方体，故C错误；空间两条直线的位置关系有相交、平行和异面三种，故D错误；因此答案选B.3.（普陀2018期末4）如图1，在长方体-ABCDEFGH中，与棱EF异面的棱是（）ABCEGHFD图1（A）棱HD；（B）棱BF；（C）棱HG；（D）棱AB．【答案】A；【解析】根据“异面直线定义：既不相交又不平行的两条直线”可知：棱HD、棱AD、棱CG、棱BC均与棱EF是异面直线，故选A.4．（黄浦2018期末5）如图，在长方体ABCD－EFGH中，既与棱CG异面又与棱BC平行的棱是（）（A）棱AB；（B）棱EA；（C）棱EF；（D）棱EH．【答案】D；【解析】与棱CG异面的棱有棱AB、棱EF、棱AD、棱EH；与棱BC平行的棱有：棱FG、棱EH、棱AD，故满足既与棱CG异面又与棱BC平行的棱是棱AD、棱EH.故选D.5．（浦东2017期末6）如图1，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）（A）1条；（B）2条；（C）3条；（D）4条．【答案】D；【解析】在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱有：棱BF、棱EF、棱HG、棱CG共四条；故选答案D.二、填空题6．（浦东2018期末16）在长方体ABCD－EFGH中，与棱AB和棱AD都异面的棱是．（图1）ABCGHEFDHGFEDCBA【答案】棱GC；【解析】与棱AB异面的棱是棱CG、棱FG、棱DH、棱EH，和棱AD异面的棱EF、棱BF、棱CG、棱HG；所以与棱AB和棱AD都异面的棱是棱CG.7.（黄浦2017期末12）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，请写出所有与棱AD异面的棱，它们是．A1D1B1C1DCBA【答案】棱A1B1、BB1、C1D1、C1C【解析】根据异面直线的定义：既不平行又不相交的两条直线是异面直线.那么在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AD异面的棱有棱A1B1、BB1、C1D1、C1C.8．（普陀2017期末17）如图3，在长方体ABCD–EFGH中，与棱CG异面的棱共有______________条．【答案】4；【解析】在长方体ABCD–EFGH中，与棱CG异面的棱分别是：棱EF、棱EH、棱AB、棱AD，一共四条；故答案是：4条.9.（金山2018期末15）如图在长方体ABCD-EFGH中，与棱EF在同一平面内且垂直的棱是.（写出符合题意的所有棱）HGFEDCBA【答案】棱EH、棱EA、棱FG、棱FB；【解析】与棱EF在同一平面内且垂直的棱是：棱EH、棱EA、棱FG、棱FB；10.（浦东四署2019期末17）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与平面EBCH垂直的平面是.HGDFCBAE【答案】平面ABFE、平面CDHG；【解析】与平面EBCH垂直的平面是平面ABFE、平面CDHG；11.（崇明2017期末12）如图，在长方体ABCDEFGH中，与棱CD垂直的平面有．HGFEDCBA【答案】平面ADHE、平面BCGF；【解析】在长方体ABCDEFGH中，与棱CD垂直的平面有平面ADHE、平面BCGF两个.12．（黄浦2018期末16）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ABCD平行的面是．HGFEDCBA【答案】平面EFGH；【解析】与平面ABCD平行的面是平面EFGH.13．（黄浦2018期末17）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与棱AE平行的面是．（写出所有满足条件的平面）HGFEDCBA【答案】平面BCGF、平面CDHG；【解析】与棱AE平行的面有两个：平面BCGF、平面CDHG.14．（徐汇2017期末11）如图，在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE平行的棱共有__________条．HGFEDCBA【答案】4；【解析】在长方体ABCD－EFGH中，与平面ADHE平行的棱有：棱BC、棱CG、棱FG、棱BF共4条.故答案为：4条.15.（宝山2018期末13）已知一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、5厘米、3厘米，那么这个长方体的棱长和为厘米.【答案】60；【解析】长方体的棱长之和为4(753)60厘米.16.（奉贤2018期末15）棱长分别为3厘米、5厘米、7厘米的两个长方体拼成一个长方体，它们的表面积最多减少_____________平方厘米．【答案】70；【解析】两个长方体拼成一个长方体，面积最大的面重合时，减少最多，因此减少57270平方厘米.17．小杰打算用铁丝制作一个长方体框架模型，如果这个长方体三条棱的长度分别为3厘米、5厘米和6厘米，那么需要铁丝的长度至少为厘米．【答案】56；【解析】依题，长方体框架模型需要的铁丝长度即为12条棱长度之和，故为4(356)41456.三、解答题18．（徐汇2017期末20）补画长方体ABCD－EFGH．（注：保留痕迹，不必写画法）ABFC【答案与解析】如图所示.HGFEDCBA19．（奉贤2018期末21）如图,在长方体ABCD–EFGH中，（1）写出所有与棱AB异面的棱：______________________________;（2）写出与棱AB平行的平面：____________________;（3）写出与平面ABCD垂直的平面：____________________．HGFEDCBA【答案与解析】（1）棱EH,FG,HD,CG；(2)平面EFGH,平面DCGH；（3）平面ADHE,平面ABFE,平面BCGF,平面DCGH20.（松江2018期末25）如图,在长方体EFGHABCD中，（1）与棱BC平行的棱有______________________________；（2）与棱AB垂直的平面有_____________________________；（3）与平面ABFE平行的平面有__________________________.HGFEDCBA【答案与解析】（1）与棱BC平行的棱为AD,EH,FG；（2）与棱AB垂直的平面为：平面ADHE和平面BCGF；（3）与平面ABFE的平面为：平面DCGH；21.（黄浦2017期末30）把11块相同的砖拼成了一个大长方体，已知大长方体的棱长总和是188厘米，求每一块砖的体积．（6分）【答案】288平方厘米；【解析】解：大长方体的长、宽、高之和为188÷4=47厘米，设：砖头的长、宽、高分别为x厘米，y厘米，z厘米.由题意可得：4322447yzxyxzyz，解得：8123xyz砖头体积V=xyz=288平方厘米.答：砖头体积为288平方厘米．22．（浦东2018期末27）小明，小华和小红准备用透明胶和硬纸板制作一些长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小华经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你求出长方体的长a、宽b和高c；（3）设计后，小红对制作费用进行了估算，小华的设计方案所需要的硬纸板的价格是每块5元，另外还有一种只有大小不同的硬纸板，价格是每块3元，小红根据小华的设计尺寸也进行了设计（如图3），发现另一种硬纸板也可以用来制作尺寸