导数及其应用复习与小结

第三章导数及其应用复习小结尝试高考题2020年5月20日星期W本章知识结构导数导数概念导数运算导数应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线斜率基本初等函数求导导数的四则运算法则函数单调性研究函数的极值、最值最优化问题一.导数的定义和几何意义①函数的平均变化率函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2∈D,f(x)从x1到x2平均变化率为:121)()fxxx2f(xxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y②函数的瞬时变化率xxfxxfxyxx)()(limlim0000导数)(0xf割线的斜率切线的斜率过p(x0,y0)作一曲线的切线方程1)p(x0,y0)为切点切线方程’00y-y=f(x)(x-x)2)p(x0,y0)不为切点切点11P(x,y)11'10110y=f(x)y-y=f(x)x-x1.2.()3.4.5.ln6.7.8.nRa'n'n-1''x'xx'x'a'若f(x)=c，则f(x)=0若f(x)=x，则f(x)=nx若f(x)=sinx，则f(x)=cosx若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx若f(x)=a，则f(x)=a若f(x)=e，则f(x)=e1若f(x)=logx，则f(x)=xlna1若f(x)=lnx，则f(x)=x二.对基本初等函数的导数公式的应用三.导数的基本运算()()()()fxgxfxgx()()()()()()fxgxfxgxfxgx2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx四.导数的应用（1）单调性区间1)如果恒有f′(x)≥0，那么y=f（x)在这个区间（a,b)内单调递增；2)如果恒有f′(x)≤0，那么y=f（x）在这个区间(a,b)内单调递减。一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（x∈R）的导数为f‘（x）=3ax2+2bx+c(1)有三个单调区间(2)有极大值和极小值(3)有极值(4)仅有一个单调区间(5)没有极值00a00a（2）极值与最值2)如果a是f’(x)=0的一个根，并且在a的左侧附近f’(x)0，在a右侧附近f’(x)0，那么是f(a)函数f(x)的一个极小值.1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)0，在b右侧附近f’(x)0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值注：导数等于零的点不一定是极值点．在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.函数的最大（小）值与导数例1.已知f(x)是可导函数，且则f（x0)等于（）,2)()2(lim000xxfxxfxAB-1C0D-221五.题型讲解题型一.利用导数的定义和几何意义解题B例2.下列四个函数中，满足“对于区间（1，2）上的任意的x1,x2（x1≠x2），|f(x2)-f(x1)||x1-x2|恒成立”的只有（）A.xxf1)(B.f(x)=2xC.f(x)=2xD.f(x)=x2A题型二：原函数与导函数的图像（07浙江）设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）例3.D已知f/（x）是f（x）的导函数，f/（x）的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（）ABCD例4.D题型三.单调区间极值最值与根的情况例5(05山东19)已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系表达式；（II）求()fx的单调区间；（III）当[1,1])x时,函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.强调应用分离参数法例6.已知二次函数2()fxaxbxc的导数为'()fx，'(0)0f，对于任意实数x都有()0fx，则(1)'(0)ff的最小值为（）A．3B．52C．2D．32C例7：如图：为处理含有某种杂志的污水，要制造一个底面宽为2m的无盖长方形沉淀箱，污水从A空流入，经沉淀后从B孔流出，设沉淀箱的长为am，高为bm，已知经沉淀后流出的水中某杂货ide质量分数与a，b成反比。现有制箱材料60m2，问：当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小？A.B两孔的面积忽略不计。AB