20.2组合的概念

排列数公式（1）：)*,,)(1()2)(1(nmNnmmnnnnAmn当m＝n时，123)2)(1(nnnAnn!nAnn排列数公式（2）：)!(!mnnAmn1!020.2组合数的概念铜山中专幼教部对口升学二年级课件制作人李巧玲2016.5.9问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？情境创设从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的概念有什么共同点与不同点？概念讲解组合定义:思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?概念理解思考三:组合与排列有联系吗?1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc(3个)2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(6个)概念理解判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.例.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。练一练不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？mnC如何计算:组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了什么?344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于，我们可以按照以下步骤进行从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：概念讲解这里，且，这个公式叫做组合数公式．*Nnm、nm例1计算：⑴47C⑵710C32(3),nnnCA已知求．例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；（2)列出所有冠亚军的可能情况.例题分析例3.从2,3,5这三个数中，每次取出2个不同的数相乘，有多少个不同的积练习.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？例题分析mnC3.10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有种；组合应用【练习】1.用m、n表示2.从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛，共有种不同的选法；如果这三个选手又按照不同顺序安排，有种方法.例4.在产品检验中，常从产品中抽出一部分进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求，各有多少种不同的抽法？(1)无任何限制条件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：5100C（1）597C（2）23973CC（3）5510097CC（4）413223973973973CCCCCC，或（5）504132973973973CCCCCC23973CC（6）96979999CC练习（1）求的值组合数的性质mnmnnCC（1）11mmmnnnCCC（2）221717xxCC（2）求满足的x值11122mmmmnnnnCCCC（3）求证：①129999CCC（4）求的值1617005或2511幼教部对口升学二年级授课教师：李巧玲组合与组合数通过前面的学习，我们已经知道了组合的定义，组合数及其一些性质和组合与排列的关系。今天我们将在此基础上，继续学习它们的一些应用（一）组合数的公式及其性质：(1)(2)(1)!mmnnnmAnnnnmCAm!!()!mnnCmnm组合数性质1：mnmnnCC11mmmnnnCCC2：01nnnCC特别地：______,4A3A2918nnn则已知7__________3337410ACC0________,231010xCCxx则1,或3_______9910098999799CCC5050练习一129999CCC（5）求的值（1）（2）（3）（4）511例8．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；例题解读：解：（1）根据分步计数原理得到：22264290CCC种例8．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．根据分步计数原理所以．222642CCC33A可得：22236423CCCxA2226423315CCCxA例題解读：因此，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．点评：本题是分组中的“均匀分组”问题．一般地：将mn个元素均匀分成n组（每组m个元素）,共有mmmmnmnmmnnCCCA种方法例8．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．12365360CCC（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有种方法．12336533360CCCA例题解读：例8．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（5）可以分为三类情况：①“2、2、2型”的分配情况，有种方法；22264290CCC②“1、2、3型”的分配情况，有种方法；12336533360CCCA③“1、1、4型”，有种方法，436390CA所以，一共有90+360+90＝540种方法．例题解读：1．按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步，是处理组合应用题的基本思想方法；2．对于有限制条件的问题，要优先安排特殊元素、特殊位置；3．对于含“至多”、“至少”的问题，宜用排除法或分类解决；4．按指定的一种顺序排列的问题，实质是组合问题.课堂小结再次强调由排列的定义可知，排列中的元素不重复，排列与元素的顺序有关，这是排列的两个基本特征．而组合中元素取出与顺序无关