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阿拉伯数学兴衰胡明明余文阿拉伯数学“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8—15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作．在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献．•他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文；8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文；9世纪最著名翻译家伊本·科拉(TabitibnQorra，836—901)翻译了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作；到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米(MohammedibnMūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉伯语“al-jabr”，意为还原移项；“wa’l-muqabala”即对消之意．传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》.书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路．阿拉伯的代数(一)花拉子米(代数学)《代数学》约1140年被英国人罗伯特(RobertofChester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破.《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题．▲第1章讨论“平方等于根”的方程，即型方程；▲第2章讨论“平方等于数”的方程，即型方程；▲第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程；▲第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：都给出了相应的求根公式．•在数学史上，他是最早认识到二次方程有两个根的数学家．•x2+10x=39bxax2bax2baxqpxxpxqxqpxx222,,•对于方程x2+10x=39的根的正确性证明在几何证明之后，花拉子米建立了两种变换——“还原”与“对消”．他指出，经过这两种变换，一般形式的一次和二次方程就能化成已经讨论过的六种标准方程．算术•花拉子米的算术著作，只有一种译本流传下来，我们把这部著作的名称译为《印度的计算术》．•该书是一部专门讲述印度数码及其计算法的著作．作者首先讲述了印度人使用9个数码和零号记数的方法．这种方法体现了十进位值制记数原理，任何一个整数都能很简单地表示出来并进行计算．作者还给出四则运算的定义和法则．例如乘法定义为重复相加，除法定义为重复相减．具体地说，两数相乘，就是把其中一个数按另一个数的大小增加倍数，其结果为乘积；两数相除，就是把其中较大的数按较小的数的大小分成若干部分，用较大的数减较小的数，能减去多少个，商就是多少．花拉子米特别提出倍乘法和倍除法，即乘以2和除以2的运算．古埃及人是很重视这两种运算的．花拉子米强调它们是为了帮助学生记忆开平方的法则．花拉子米在该书中给出的开平方的方法，用现代符号表示，相当于下列近似公式：计算结果中的分数部分表示为60进位分数．•书中还专门讲述了分数理论．花拉子米把分数分为“能读的”和“不能读的”，在阿拉伯语中用两个以上的复合词来表示．分数的表示法与(用现代阿拉伯数码)：3813211•分子在上，分母在下，带分数的整数部分又在分数部分之上．中国科学史家推测，这种表示法可能是由中国经印度传入阿拉伯世界的．•花拉子米在这部著作中列表给出分数乘法的例子：•即•从这个计算表格可以看出，计算步骤是先通分：然后相乘：通分母时没有取最小公倍数．这个例子表明，花拉子米时代的阿拉伯学者掌握把一般分数化为单分子分数的方法．奥马·海亚姆与三次方程波斯人奥马·海亚姆(OmarKhayyam，1048?—1131)是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程．奥马·海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法。例如解，首先将其化为(这里，按照希腊人的数学传统，是线段，正方形，为长方体)。baxx3dcxcx223bdcac22,ba,2cdc2方程的解就是抛物线与半圆交点横坐标x．他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解．这一创造，使代数与几何的联系更加密切．dcxcx223cyx2)(2xdxy阿拉伯的三角学与几何学由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作．对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼(al-Battani，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．•在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切．他称正弦为jiva，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影．后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561—1656)的《圆的几何》(1583)一书中．•cosa=cosbcosc+sinbsinccosa.•而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．•证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，•证明了平面和球面三角形的正弦定理比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的值．•首先求出sin72和sin36的值，以求12=sin（72-60）的值，•再用半角公式求sin3的值，由三倍角公式得出sin3=3sin14sin31，•即sin1是三次方程sin3=3x-4x3的解，阿尔·卡西用牛顿叠代法求出sin1的近似值。如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变．•他的天文学著作《伊儿汗天文表》(1271)是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51〞／每年，其《天文宝库》则对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著．该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理．讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)：.cottansin;sinsinsin;cottancos;sincoscos;cotcotcos;coscoscosBabBcbCbABaABAcbac并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一个重要标志．纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用．与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的．例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式作代数运算而求解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步．1cossin22与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花．最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、塔比·伊本，库拉(ThabitibnQurra，约826---901)、伊本。海塞姆(Ibnal-Haytham,965—1040?)、奥马，海亚姆以及纳西尔·丁等人。阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影响．