新人教版第二十二章-二次函数(全章课件PPT)

第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.1二次函数课前预习1.观察：①y＝6x2；②y＝－x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y=ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________.2.函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）.（1）当m时，该函数为二次函数；（2）当m时，该函数为一次函数.二二次函数≠2=23.下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？是二次函数，请指出各项对应项的系数.（1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x（3）y＝x(x－5)＋2（4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋1x答案：⑴是，二次项系数为-3，一次项系数为0，常数项为1；⑵是，二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为0；⑶是，二次项系数为1，一次项系数为-5，常数项为2；⑷否；⑸否.4.（2015•闸北区一模）在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A.y=x2B.y=C.y=kx2D.y=k2x21xA课堂精讲知识点1二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）任何一个二次函数的解析书都可以化成y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的形式，因此，把y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般形式.二次项系数a不能为0，而b，c可以为0，所以二次函数y=ax2+bx+c的特殊形式有：①y=ax2（a≠0,b=0,c=0）；②y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0)；③y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).当a=0时，b≠0，函数就变为一次函数y=ax+c;若b=0,则y=c是一个常数.（2）一个函数是二次函数必须同时满足三个条件：①函数解析式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于0.（3）函数自变量的取值范围：①y=ax2+bx+c（a≠0）中，x的取值范围是全体实数.②函数关系式是分式，自变量取值应使得分母不等于0.③函数关系式是偶次根式，自变量取值为被开方数为非负数.④实际问题的函数式，使实际问题有意义.（如大于0，取正整数或某两非负数之间取值）【例1】下列函数中是二次函数的有（）①y=x+；②y=3（x-1）2+2；③y=（x+3）2-2x2；④y=+x．A.4个B.3个C.2个D.1个1x21x解析：本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件.①y=x+④y=+x的右边不是整式，故①④错误；1x21x②y=3（x-1）2+2，符合二次函数的定义，故②正确；③y=（x+3）2-2x2=-x2+6x+9，符合二次函数的定义，故③正确.答案：C【例2】（2015•嘉定区一模）如果函数y=(a-1)x2是二次函数，那么a的取值范围是．解析：本题考查二次函数的定义，注意二次函数二次项的系数不能为零．由y=（a-1）x2是二次函数，得a-1≠0．解得a≠1即a＞1或a＜1答案：a＞1或a＜1．变式拓展1.下列函数中，属于二次函数的是（）A.B.y=2(x+1)(x-3)C.y=3x-2D.y=2.若y=（m+1）是二次函数，则m的值为.2yx21xx2m6m5xB7知识点2实际问题中的二次函数前面我们已经学习了用一次函数表示某些问题中变量之间的关系，除此之外，某些问题中的变量之间还存在着其他的一些数量关系，例如：（1）正方形的边长为x，用y表示正方形的面积，则y=x2；（2）从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度y与小球运动时间x之间的解析式是y=-5x2+30x.对于以上所列举的解析式中的每一个变量x都有唯一的y值与它对应，所以y与x之间是一种函数关系，这种函数关系就是我们正要学习和研究的二次函数.建立二次函数的模型的步骤如下：【例3】（2015•长宁区一模）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y=．解析：由一月份新产品的研发资金为100元，根据题意可以得到2月份研发资金为100（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．∵一月份新产品的研发资金为100元，二月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x∴2月份研发资金为100（1+x）∴三月份的研发资金为y=100（1+x）×（1+x）=100（1+x）2答案：100（1+x）2变式拓展：3.（2015•奉贤区一模）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数解析式是．8x-x2随堂检测1.下列函数中，不是二次函数的是()A.y=1-x2B.y=2(x-1)2+4C.(x-1)(x+4)D.y=(x-2)2-x22.若函数y=(m-3)是二次函数，则m=___.3.如下图，在正方形ABCD中，E为BC边上的点，F为CD边上的点，且AE＝AF，AB＝4，设EC＝x，△AEF的面积为y，则y与x之间的函数关系式是.2122213mmx＋－D-5y=-x2＋4x12解：(1)x≠-2;(2)x≧2;(3)任意实数.4.求下列函数中自变量x的取值范围．5．如图所示，要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙（墙长不限），围成一个矩形的花圃，若设AB的长为x(m)，求矩形的面积y(m2)与x的函数关系式（要求写出自变量x的取值范围）．解：y=x(20-2x)=-2x2+20x(0x10)22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质课前预习1.函数的图像与的符号有关的是（）A.顶点坐标B.开口方向C.开口大小D.对称轴2.已知二次函数的图像如图所示，则a满足条件（）A.a0B．a0C.a≥OD.a≤O2(0)yaxaa2yaxBA3.已知二次函数的图像是，开口方向向，顶点坐标为，对称轴为，当x0时，y随x的增大而，当x0时，y随x的增大而，当x=时，函数有最值，最值是.5.已知抛物线（）经过点A（-2，-8），求抛物线的函数表达式.232yx抛物线下（0，0）y轴增大减小0大02axy＝0a解：把点A（-2，-8）代入解得所以所求抛物线的函数表达式为2axy＝2a22xy＝－课堂精讲知识点1二次函数y=ax2的图像和性质画法①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必须的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸.二次函数（）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点.其性质如下：二次函数解析式图像开口方向对称轴顶点坐标增减性最大（小）值异同点y=x2向上y轴（0,0）当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大当x=0时，y取最小值0y=x2与y=-x2图像开口方向相反，形状相同，顶点相同，两图像都关于y轴对称y=-x2向下y轴（0,0）当x0时，y随x的增大而增大；当x0时，y随x的增大而减小当x=0时，y取最大值02axy＝0a注意：（1）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）中，b,c是任意常数，当b=c=0时，得到二次函数y=ax2，它是最简单的二次函数；（2）由于二次函数y=ax2的图像是抛物线，故也称为抛物线y=ax2；（3）在画函数图像时，图像必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析；（4）抛物线是向两方向无限延伸的.左右两侧必须保持关于对称轴对称；（5）抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.【例1】在同一直角坐标系中作出y=3x2和y=-3x2的图象，并比较两者的异同．解析：根据二次函数解析式符合y=ax2得出图象，进而得出图象的异同即可．解：如图所示：两图象开口大小形状相同，但是开口方向不同.【例2】若二次函数的图象经过点P(-3，2)，则该图象必经过点（）A.(2，3)B.（-2，-3）C.(3，2)D.(-3，-2)2yax解析：二次函数的图象关于y轴对称，又知(3，2)与（-3，2）关于y轴对称，∴该图象必经过点(3，2).答案：C点拨：确定二次函数的图象经过的点，一般思路是将点的坐标代入函数解析式，若能使函数解析式成立，则图象经过该点；若不成立，则图象不经过该点，本题中，由于点的特殊性，直接利用函数的对称性即可获得答案，故解答问题时，要注意选择简单的方法.【例3】已知是抛物线y=-2x2上的点，则（）A.B.C.D.123(1,),(2,),(4,)yyy123yyy321yyy312yyy231yyy解析：因为抛物线y=-2x2的开口向下，对称轴是y轴，在y轴的左边y随x的增大而增大，又因为-4-2-1O，所以．321yyy点拨：比较函数值常用的方法有三种：(1)代入法：将自变量的值代入解析式，直接求出函数值进行比较；(2)图象法：画出二次函数的图象（简图），根据自变量在图象上际出点的位置，从而得出函数值的大小；(3)性质法：根据二次函数的图象与性质，由自变量的大小得出函数值的大小.B变式拓展1.当时，函数与的图象可能是（）0＞ab2axy＝baxy＋＝D2.如图，a1，a2，a3，a4的大小关系是（）A.a1＞a2＞a3＞a4B.a1＜a2＜a3＜a4C.a4＞a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a1＞a43.若函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2，b)，则k=,b=.A4.512随堂检测1.在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）2.抛物线，当0时，与的大小为.214yx1x2x1y2yB1y2y3.函数y=ax2与y=-2x-4直线交于点（2，b），则（1）a=，b=；（2）抛物线的顶点坐标为，对称轴为；（3）当x时，函数y=ax2随x的增大而增大.4.若二次函数y=ax2的图像经过点(-1，2)，则二次函数y=ax2的解析式是．5.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，8）．(1)求a的值；(2)若抛物线上纵坐标为8的另一个点为B，试求出△AOB的面积；-2-8（0,0）x=0≤0y=2x2解：(1)将A(-2，8)代人抛物线y=ax2，得(-2)2a=8，则a=2．(2)由(1)结果可知，函数解析式为y=2x2，当y=8时，2x2=8，解得x=士2，则B点坐标为(2，8).如下图：114816.22AOBSABOD22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质课前预习1.抛物线的图像大致是()21yx2.抛物线的顶点坐标是()A.(2,0)B.(-2,0)C.(1,-3)D.(0,-4)24yxBD3.抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看做是由抛物线向平移个单位得到的．2194yx214yx向上y轴（0,-9）下9课堂精讲知识点1二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质总结如下:a的符号a0A0图像开口方向