第5章---曲线梁桥的理论分析

150第五章曲线梁桥的理论分析5.1曲线梁桥的概述1)曲线梁桥的结构形式平面曲线梁桥也称为弯桥。弯桥平面基本形状有扇形和非扇形两种,如图5-1所示。工程上大量采用的是以平面形状为扇形的支承径向布置的弯桥(图5-1a)。对于支承线相互平行的非扇形弯梁桥(图5-1b)或不平行的非扇形弯桥(图5-1c)，可以称为不规则弯桥或斜交曲线梁桥，也有的资料称为非径向支承弯桥。扇形曲线梁桥是曲线桥中类似直桥中正桥的一种形式，也是可以用一般理论进行分析的基本形式；而斜交曲线梁桥（非径向支承弯桥）受力比较复杂，分析也比较困难。多跨连续梁曲线桥基本上是由以上三种基本形式组成图5-1弯桥的平面形状图5-2连续弯桥的曲线形状2)曲线梁桥的支承布置特点(1)单跨弯桥单跨弯桥的支座布置有四种形式有如图5-3所示的四类形式:a单跨静定曲梁中心布置;b单跨静定曲梁偏心布置;c单跨超静定曲梁中心布置;151d单跨超静定曲梁偏心布置;图5-3单跨曲线梁的支座布置形式对于两端设抗扭支承的超静定曲梁，支座的偏心只能改变支座处各个支座上的反力分布而决不能改变梁的扭矩分布。如果一侧支承斜向变化时，该支点截面随斜角的增大而增加负弯矩。(2)连续弯桥连续弯桥支座的常见布置方式有图5-4所示四种形式a两端点均设抗扭支座，中间跨设铰支承;b两端点均设抗扭支座，中间跨设中心铰支承和少量抗扭支座;c为减小扭矩，两端点均设抗扭支座，中间设向外侧有偏心铰支承;d为增大全桥抗侧倾稳定性，两端设置抗扭支承，中间交替布置偏心支承;图5-4连续弯桥的支座布置形式为了分析的方便，有些资料将连续弯梁的支承方式分为A、B、C三类：A类是指曲线梁在支承处只可弯曲而不可转动，即所有支座都是有抗扭约束的支座；B类是指曲线梁的中间支承无竖向位移，但可弯曲和转动，即中间支承是点铰支承；C类是支曲线梁设置铰支承，在支承处均可弯曲和转动。设置支承偏心可以调整曲梁中的扭矩分布，但不能消除曲梁的扭矩。5.2曲线梁桥的基本微分方程对于曲线梁桥，我们先讨论扇形曲线的平面曲线梁。为了解结构的力学特性，先研究结构的理论计算方法。采用直角流动坐标系，曲线向心方向为x，垂直于平面曲线方向并向下为y,弯梁轴线的切线方向为z，满足右手螺旋法则，坐标系的方向如图5-5所示。梁上作用的外荷载有分布荷载和分布力矩，方向以与流动直角坐标一致为正。如图5-6所示，取微段进行分析，截面内力的方向，在正面上以与流动直角坐标一致为正，在负面上以与流动直角坐标负方向为正。152图5-5曲线梁分析的坐标系和力的方向取出微单元dz，其上作用有荷载qx、qy、qz和力矩mx、my、mz，外力与内力的方向如图5-6a)所示，截面端部内力的方向如图5-6b)所示，根据力的平衡条件，建立方程。根据圆微段在三个坐标轴方向应保持力和力矩的平衡，可以导出六个平衡方程。（1）由∑Fy=0，把所有的力投影在y坐标方向，如图5-7所示：1)-(50yyqdzdQ（2）由∑Fx=0，把所有的力投影在x坐标方向，由图5-8可建立平衡关系图5-7外力、内力、位移符号及正方向图5-8平衡条件∑Fy=0图5-7平衡条件∑Fx=0图5-9平衡条件∑Fz=0由平衡条件有：02/cossin)(cos)(ddzqddNNQddQQxzzxxx引进近似关系：12/cos,sin,1cosdddd平衡条件化简：0dzqdNdQxzx，引入dφdz=1R得到0xzxqRNdzdQ（5-1）(3)由∑Fz=0，把所有的力投影在z坐标方向，如图5-9所示平衡条件：0sin)(cos)(dzqddQQNddNNzxxzzz153引入近似关系化简得：0dzqdQdNzxz所以：0zxZqRQdzdN（5-3）(4)如图5-10所示，由∑Mx=0，把所有y方向的力都对x轴求矩并投影到x轴上，略去高阶项有：图5-10平衡条件∑Mx=0图5-11平衡条件∑My=00xyzxmQRTdzdM（5-4）（5）如图5-11所示，由∑My=0,把所有x-z平面的力都y对轴求矩并投影到y轴上，略去高阶项有：5)-(50xyyQmdzdM（6）由∑Mz=0,把所有y方向的力都对过A的切线求图5-12平衡条件∑Mz=0矩，并投影到切线上，略去高阶项有：0zxZmRMdzdT（5-6）将上述六个公式写在一起，并用偏导表示，略去一些不会误会的下标，有：000000zxyxyzyxzxyyzxmrMzTmQxMmQrTzMqrQzNqzQqrNzQ（5-7）显然，若在上述方程中令r，并设0xymm，就得到材料力学中熟知的直梁微分方程。154上述六个平衡微分方程可化为不包含xyQQN、、的下述三个基本方程：∂3My∂z3+1r2∂My∂z=∂qx∂z−qzr−∂2my∂z2−myr2(5-8)∂2Mx∂z2+1r∂T∂z=−qy−∂mx∂z5-9)∂T∂Z−Mxr=−mz(5-10)有了力的平衡方程后，下面需要建立变形状态的几何关系。描述弯梁的独立位移分量为：轴向位移u、径向位移v、竖向位移w、截面扭角φ，它们均是坐标z的函数。用弯梁的几何方程来描述截面变形与位移分量之间的几何关系。以下讨论的截面变形包括：轴向应变εz,饶z轴的扭率kz,饶x、y轴的变形曲率kz、ky。首先讨论轴向应变εz。在图5-13中，将微段AB的B端轴向位移u+du、径向位移v+dv投影到A端的切向方向并与A端轴向位移u相减，并除以弧长dz，略去高阶项，就得到轴向应变图5-13弯梁轴向应变计算简图εz=u+ducosdϕ−v+dvsindϕ−udz引入近似值：cosdϕ=1，sindϕ=dϕ,则弯梁轴向应变εz=dudz−vr(5-11)再看绕x轴的变形曲率kx和绕z轴的扭率kz，与上述的过程相同，有cossincossinxxxxxxzddddkdzddddkdz注意到：dzdwx图5-14弯梁变形曲率kx与扭率kz计算简图于是有:kx=−d2wdz2+φr(5-12)kz=dφdz+1rdwdz(5-13)由于弯梁在变形前就有绕y轴的曲率1/r，绕y轴的变形曲率应是由于变形产生的绕y轴的变形曲率增量，因此有:ky=1r−v−1r+θy+dθy−θydz在上式中，右端括号内为径向（半径变化）产生的曲率增量，第二项为梁端转角增量dθy产生的曲率增量。由于v比r小得多，图5-15ky的计算简图且θy=dvdz,则155ky=vr2+d2vdz2(5-14)根据材料力学和虎克定律，可建立轴力、面内外弯矩与变形的关系:zduvNEAEAdzr（5-15）22xxxxdwMEIkEIdzr（5-16）222yyyydvvMEIkEIdzr（5-17）对于受约束扭转的开口截面薄壁弯梁，其截面总扭矩可按下式计算：22zddzdkTTTEIGIkdz333311dddwddwEIGIdzrdzdzrdz（5-18）式中：I为截面扇形惯性矩；为自由扭转惯性矩（圣维南扭转常数）。弯梁的剪力可通过平衡方程计算出来。将上述各项关系代入平衡方程，经推导化简以后得弯梁平衡微分方程：'''''''2422''''yxyxymvqEIvvqmrrrr（5-19）'''''''''22''''dxdxyxEIGIEIEIGIEIwwqmrrrr（5-20）''''''''''''2xdxdxEIEIEIEIwwEIGImrrr（5-21）上面方程中第一个方程与后两个方程独立，表示平面弯梁的面内位移与面外位移不相关，因此可单独计算。后两个方程是耦合的，两者是互相依存的。当弯梁的半径趋于无穷时，式（5-20）就是直梁的平衡微分方程。将上述后两个方程用消元法求解，可以得到关于扭角的一个六阶微分方程。6''''''2224212dddEIEIGIEIGIGIrrrr'''xdxdyyxxxxEIGIIEIGIqqmrEIrIrEI2'''''22dxxxxxxxIGIIrImmmrIrEIrI（5-22）上述方程是一个六阶常微分方程，要求得其解析解比较困难。一般在以下条件下可采用解析法求理论解：（1）对于单跨弯梁，必须是等截面、等半径、荷载是沿全跨的分布函数、无集中荷载，并且需要六个边界条件；（2）对于有集中荷载的单跨曲梁或多跨连续曲梁，应以集中力作用点或中间支座点为分段点，在每一段分别建立方程，每一段需要六个边界条件，相邻边界条件应满足连续条件，按此方式进行方程求解。（3）对单跨弯梁沿全跨作用竖向均布荷载及均布扭矩时，其解为：156''''''23coscossinsin11xyxdxzzzzzzAchBshCDzEFzaarrrrrmrqEIGIEI（5-23）其中，'',,,mdEIaABGI为由单跨弯梁两端边界条件确定的常数。计算出φ以后，将其代入上面的耦合方程中，可列出关于竖向位移的四阶常系数微分方程，则有：22'''2'''''2cosDcossinsinFcossinGH2ydazazzwAchBshCrrararqrzzzzzrzbErbrzzzrrrrrGI（5-24）式中：4222xxdEIrbEIEIrGIr上述方程的解中有8个任意常数需要由弯梁两端的边界条件确定，常见支承类型的边界条件是：1）固端支承：'0,0,0,0xwwk；2）固定铰支承：0,0,0,0xwMB；3）点铰支承：0,0,0,0xwMTB；4）自由端：0,0,0,0yxQMTB。上述边界条件中的B称为翘曲双力矩，它是薄壁杆件约束扭转理论中表征横截面上翘曲正应力大小的特殊内力。弯梁中的双力矩表达式为：22221ddwBEIdzrdz计算出弯梁的弯曲变形位移分量后，根据前面的公式，就可以计算出相应的截面内力。在微分方程的基础上，也可以采用数值计算方法，如有限差分法等进行求解，并可采用有限差分法对变截面、变半径曲线梁桥进行分析。但总的说来计算过程相对复杂，对于工程常遇的曲梁桥，可以采用超静定结构的计算方法进行分析。5.3单跨曲线梁的内力计算位于水平面内的单跨弯梁在其两端仅设点铰支承时，为不稳定体系，必须在其一端设置抗扭支承。当只在一端设置抗扭支承、另一端为点支承，则该弯梁是静定的，当两端设置抗扭支承时，则为超静定的。对于静定结构，可以用力的平衡条件求出结构的内力。在这里的计算中，仅考虑截面剪切中心轴线与截面形心轴线重合的纯扭转情况，即不考虑约束扭转问题。1）单跨静定弯梁的内力计算讨论如图5-16所示单跨静定弯梁AB，梁上作用均布竖向力q。A端为抗扭约束端，竖向反力及反扭矩的正向如图中所示。为计算结构内力，先计算力作用中心。竖向均布荷载q合力为qrφ0,设其合力作用点为G0，如图5-17所示。根据图中几何关系，有：157220000.cos.qrdrOGqr（5-25）积分后有：2sin2000rOG（5-26）根据图5-17的几何关系，容易求得：0000000sin1sin1cosarrbr（5-27）有了上面的几何关系后，根据平衡关系求支反力：图5-16单跨静定弯梁计算简图000sin..,0rRbqrMAqBC00000)cos1(..0qrRRYrRaqrTMBqAqBq