大学高等数学-函数ppt

高等数学Ⅲ微积分姓名：张智勇地点：四教西305室E-mail:[e-mail]自我介绍课程名称：微积分学分：4学分学时：64学时（1周-16周）课程介绍课程内容：1.函数、极限与连续2.导数与微分3.中值定理与导数应用4.不定积分5.定积分及其应用1.期末总评成绩的计算期末考试成绩占70%，平时成绩占30%。平时成绩：期中测验成绩，作业成绩，考勤。2.考勤不许旷课、迟到、早退，自觉维护课堂纪律。3.作业要求认真完成作业，按时交作业。严禁抄作业。字迹潦草、表达混乱、乱划乱改的作业返回重做，甚至取消该次成绩。4.答疑时间：地点：四教西305考核及要求课程特点与学习方法方法:1.课前预习2.重点听讲3.简记笔记4.整理咀嚼5.后作练习6.答疑特点：1.课堂大2.时间长3.进度快第一章函数函数的概念及基本特性预备知识1、数的扩张：复数虚数无理数有理数分数整数负整数自然数实数2、数的几何表示：数轴实数与数轴上的点之间具有一一对应的关系。3、区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax◆开区间：oxab),(ba记作}{bxaxoxab◆闭区间：],[ba记作◆半开区间：oxab}{bxax],(ba记作}{bxaxoxab),[ba记作区间的划分：1.有限区间2.无限区间◆区间长度两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.}{bxxoxb),(记作bx0x0x0x4、邻域.0,0且是两个实数与设x,0叫做这邻域的中心点x.叫做这邻域的半径,}{00邻域的称为点数集xxxx.}{}|||{),(0000xxxxxxxxU记作其中称为的左邻域,),(00xx称为的右邻域。),(00xx0x0x).,(00xU记作,0邻域的去心的点x).,(),(}0{),(0000000xxxxxxxxU去心邻域：因变量自变量)(xfy定义域：数集D叫做这个函数的定义域,)(fD记作值域：函数值全体组成的数集,即).()}(),(|{fZZfDxxfyy或者记作，的函数，记作是或称上的一个函数关系，为定义在应，则称这个对应法则与之对都有一个确定的实数,，使每一个对应规则。设有一个是一个非空的实数集合是两个变量，与若xyDfyDxfDyx函数概念大体分为以下几种：a)偶次方根号b)分式的分母c)对数的真数d)三角函数（正切余切）和反三角函数，e)以上情况的复合等(1)、函数的定义域1.数学角度：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值,这种定义域称为函数的自然定义域.2.实际应用时间，高度，热度等等(1)绝对值函数00xxxxxyxyxyo其定义域为D(f)＝(－∞,+∞),值域为Z(f)＝[0,+∞).几个特殊的函数举例(2)符号函数010001sgnxxxxy当当当1-1xyo其定义域为D(f)＝(－∞,+∞),值域为Z(f)＝{－1,0,1}.xxxsgn可以证明：对于任何实数x,下列关系成立:(3)取整函数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线设x为任一实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].即y=[x]=n,n≤xn+1,n=0,±1,±2,…可以证明：对于任何实数x,有不等式[x]≤x[x]+1.其定义域为D(f)＝(－∞,+∞),值域为Z(f)＝Z.（4）分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.注意：(1)分段函数的定义域是其各段定义域的并集；(2)分段函数在其整个定义域上是一个函数,而不是几个函数.1、函数的奇偶性偶函数)()(xfxfyx)(xf)(xfyox-x)(xf；为偶函数则称)(xf且关于原点对称，若对于设,DxD二.函数的基本特性奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy有若对于关于原点对称设,,DxD)()(xfxf.)(为奇函数则称xf例判断下列函数的奇偶性：);1ln()(2xxxf解：(1)∵函数的定义域为(－∞,+∞),且])(1ln[)(2xxxf)1ln(2xx2221)1)(1(lnxxxxxx211lnxx)1ln(2xx=-f(x)∴f(x)是奇函数.2、函数的周期性（通常说周期函数的周期是指其最小正周期或基本周期）.2l2l23l23l的，如果存在一个不为零的定义域为设函数Dxf)(恒且，使得对于数)()()(,xfTxfDTxDxT.)()(.的周期称为为周期函数，则称成立xfTxf说明：（1）周期函数的图形在每一个周期长度的区间上有相同的形状；（2）并非每个周期函数都有基本周期.例如，函数f(x)=C是周期函数，但它没有基本周期；例：设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b)的周期，其中a，b为常数，且a0.3、函数的单调性,,)(DIDxf区间的定义域为：设函数性单调恒有时当如果对于,,,2121xxIxx，或者))()()(()(2121xfxfxfxf).()(单调减少的上是单调增加的在区间则称函数Ixf)(xfy)(1xf)(2xfxyoI单调增加)(xfy)(1xf)(2xfxyoI单调减少M－Myxoy=f(x)X有界无界M－MyxoX0x4、函数的有界性设f(x)在集合D内有定义,若存在正数M,使得对每一个,都有成立,则称函数f(x)在D内有界,或称f(x)是D内的有界函数;否则,称f(x)在D内无界,或称f(x)是D内的无界函数.DxMxf)(设f(x)在集合D内有定义,若存在数A(或B),使得对每一个,都有(或)成立,则称函数f(x)在D内有上界(或有下界),也称函数f(x)是D内有上界(或有下界)的函数.DxAxf)(Bxf)(例如,函数y=sinx在(－∞,+∞)内有界,而函数y=x2在(－∞,+∞)内有下界但无上界,故y=x2在(－∞,+∞)内是无界函数.不过y=x2在[－1,1]上是有界函数.结论：函数f(x)在D内有界的充要条件是函数f(x)在D内既有上界又有下界;复合函数与反函数一、复合函数1、定义：设函数y=f(u),u∈D(f),y∈Z(f)u=g(x),x∈D(g),u∈Z(g)若D(f)∩Z(g)≠Φ(空集),则称函数)}()({)],([fDxgxxxgfy为由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的复合函数.其中y称为因变量,x称为自变量,而u称为中间变量.集合称为复合函数y=f[g(x)]的定义域.)}()({fDxgx例讨论下列各组函数可否复合成复合函数,若可以,求出复合函数及其定义域.;ln)(,1)()1(xxguuufy.cos)(),1ln()()2(2xxguuufy).,[,1ln}|{}1ln|{)()(,)(),,1[)(11exxyexxxxuZfDRuZfD定义域为即复合函数为所以解：由于.,)()(],1,1[)(),,1()1()(合则上述两个函数不能符所以而解：由于uZfDuZfD注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数复合构成.ln,uv=cos,varct=1.tx=,2uy例：2、函数值以及函数表达式的求法例设,求.xxxf11)()](1[xff解：)](1[xff)](1[1)](1[1xfxf)(2)(xfxfxxxx11211.31xx例设,求.xxf)1()(xf解：令,1ux则.)1(2ux,)1()(2uuf即.)1()(2xxf二、反函数0x0y0x0yxyDW)(xfy函数oxyDW)(yx反函数o设函数f(x)的定义域为D(f)，值域为Z(f)，若对每一个y∈Z(f)，都有唯一确定的x∈D(f)与之对应且满足y=f(x)，则x是定义在Z(f)上以y为自变量的函数，记作x=f－1(y)，y∈Z(f)，并称其为反函数.习惯上记作).(),(1fZxxfy说明.(1)原函数与反函数的图形关于直线y=x对称；(2)函数y=f(x)具有反函数充要条件它是一一对应的；严格单调函数必有反函数.反函数是相互的且具有唯一性.(3)定义域、值域相反对应法则互逆.)(xfy原函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数(4)反函数的求法三、函数的运算的下列运算：,)(,)(21DDxgxf、的定义域分别是设函数个函数，则我们可以定义这两21DDD函数的和（差）函数的积函数的商gfDxxgxfxgf，)()())((Dxxgxfxgf，)()())((gfgf)()())((xgxfxgf}0)(|{\xgxDxCy(C为常数)xyocy图形是一条平行于x轴的直线其定义域为D(f)＝(－∞,+∞),值域为Z(f)＝{C}.1.常值函数(constantfunctions)基本初等函数与初等函数一、基本初等函数2.幂函数(powerfunctions)幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xyxayxay)1()1(a)10(aaayx且3.指数函数(exponentialfunction))1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(4.对数函数(logarithmicfunction)正弦函数xysinxysin四、三角函数与反三角函数1.三角函数xycosxycos余弦函数正切函数xytanxytanxycot余切函数xycot2.反三角函数xyarcsinxyarcsin反正弦函数xyarccosxyarccos反余弦函数xyarctanxyarctan反正切函数xycot反余切函数arcxycotarc四、初等函数常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数.2.分段函数一定不是初等函数吗？解答不一定考察函数00xxxxy它是一个分段函数，2xxy，但是根据定义，它是一个初等函数.1.初等函数的结构分析