第三章+误差的合成与分配

3-1第3章误差的合成与分配3-2直接测量(directmeasurement)指被测量与该标准量直接进行比较的测量，指该被测量的测量结果可以直接由测量仪器输出得到，而不再需要经过量值的变换与计算。用游标卡尺测量小尺寸轴工件的直径时，游标卡尺的读数即是被测工件的直径指通过直接测量与被测量有函数关系的量，通过函数关系求得被测量值的测量方法。间接测量(indirectmeasurement)用游标卡尺测大尺寸轴工件的直径，因量程不够，采用测量弦长与矢高的方法，间接得到工件直径基本概念3-3间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差(functionerror).基本概念研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题(PropagationofError)。给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。这就是误差的分配或分解。由两个或多个误差值合并成一个误差值叫做误差的合成。包括系统误差的合成（已定、未定系统误差的合成）、随机误差的合成、系统误差与随机误差的合成。3-4误差的合成与分配第一节函数误差第二节随机误差的合成第三节系统误差的合成第四节系统误差与随机误差的合成第五节误差分配第六节微小误差取舍准则第七节最佳测量方案的确定3-5大纲要求掌握函数误差的定义。掌握随机误差的合成、系统误差的合成、系统误差与随机误差的合成方法。掌握误差分配的方法。掌握微小误差取舍准则理解最佳测量方案的确定。3-6第一节函数误差一、函数(已定）系统误差计算二、函数随机误差计算三、误差间的相关关系及相关系数(correlationcoefficient)3-7间接测量的数学模型12(,,...,)nyfxxx为各个直接测量值y为间接测量值12,,,nxxx一、函数(已定）系统误差计算3-8nnidxxfdxxfdxxfdy221求上述函数y的全微分，其表达式为：(1,2,,)ifxinnxxx,,,21函数系统误差的计算公式y1212...nnfffyxxxxxx为各个直接测量值的误差传递系数(errorpropagationcoefficient)为各个直接测量值已定系统误差一、函数(已定）系统误差计算3-9几种简单函数的系统误差1、线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax2、三角函数12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx12cos,,...,nfxxx11sinniiifxx系统误差公式12...nyxxx1ia当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和3-10已知直接测得值xi及其已定系统误差xi，求测量结果1）建立函数式。2）由直接测得值xi求不考虑系统误差的结果3）求函数系统误差。4）经修正，得到消除定值系统误差后的结果为),,(210nxxxfyiniinnxxfxxfxxfxxfy12211yxxxfn),,(2112(,,...,)nyfxxx-y修正值3-11【例题】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。50mmh500mml50.1mmh499mml【解】建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh500mml201300mm4lDhh3-12车间工人测量弓高、弦长的系统误差hl5050.10.1mmh5004991mml直径的系统误差7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh故修正后的测量结果013007.41292.6mmDDD计算结果误差传播系数为3-13二、函数随机误差计算随机误差是用表征其取值分散程度的指标标准差来评定的，对函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差的计算就是研究函数y的标准差与各测量值的标准差之间的关系。12,,,nxxx),...,(2222211nxxxyf3-14函数标准差计算第i个直接测得量的标准差xiix第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数ifxixy12(,,,)nxxxnjiNmjmimjixnnxxyNxxxfxfxfxfxf11222222212122)()()(NxxKNmjmimij1若定义：第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数ij当N时为第i个测量值和第j个测量值之间的协方差xjxiijijKxjxiijijK3-15ninjixjxiijjixiinjixjxiijjixnnxxyxfxfxfxfxfxfxfxf11221222222212122)(2)()()(njiNmjmimjixnnxxyNxxxfxfxfxfxf11222222212122)()()(（3-13）函数随机误差公式函数标准差计算3-16或相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0iifax令nixiiyxf1222)(nixiiya122一般测量多为独立测量，一些弱相关（很小）的情况也近似地当作独立测量对待。上式常用。（3-14）（3-15）3-17函数的极限误差计算公式当各个测量值的随机误差都为正态分布,且互不相关时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式第i个直接测得量的极限误差其置信概率与xi相同ixniiinnxaxaxaxay12lim22lim222lim2212lim21lim证明（3-16）函数极限误差公式ixlim3-18上式成立条件：1、各个测量值的随机误差为正态分布时2、取相同的置信概率来估算3、具有相同的置信概率。4、相互独立。niiinnxaxaxaxay12lim22lim222lim2212lim21limixlimylim函数的极限误差计算公式3-192222222121cos1xnnxxxfxfxf1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,sin212）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cos213）正切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf三角形式的函数随机误差公式3-20【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长l=500mm。已知：，求测量直径的标准差0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.00516910mmDlhfflh0.13mmD有建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhh3-21三、误差间的相关关系及相关系数(correlationcoefficient)3-22相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa函数随机误差分量则具有线性的传播关系.函数随机误差公式ij0ij当相关系数1ij当相关系数3-23（一）误差间的线性相关关系：指两者误差间的线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。（二）相关系数，两误差之问相关性的强弱由相关系数来反映。定量误差间的线性相关关系3-24相关系数定义表示了两个变量间线性相关的程度11当，X与Y正相关，当，X与Y负相关0110线性相关正相关负相关线性不相关))((K=+1,完全正相关;=-1,完全负相关.此时两误差之间存在着确定的线性函数关系.3-25越小，X，Y之间线性相关程度越小，取值越大，X，Y之间线性相关程度越大||||值得注意的是:相关系数只表示两误差的线性相关的密切程度,当很小甚至等于0时,两误差间不存在线性关系,但并不表示它们之间不存在其他的函数关系.相关系数3-26相关系数的确定可判断的情形0ij当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量ixjx与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关ixjx1、直接判断法3-27相关系数的确定可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关ixjx1ij1ij3-282、试验观察和简略计算法（1）观察法。做点图与标准图作比较。（2）简略计算法（3）直接计算法式(3-26)3、理论计算法。根据概率论和最小二乘法直接求出。相关系数的确定n2n3n4n10nnn31cos其中，4321nnnnn3-29第二节随机误差的合成（一）标准差的合成（二）极限误差的合成3-30一、标准差的合成合成标准差（combinedstandarddeviation)211()2qqiiijijijiijaaaq个单项随机误差，标准差12,,,q误差传递系数12,,,qaaa直接测量中，要根据各个误差因素对测量结果的影响情况而定。ia间接测量中由显函数模型求得iiafx3-31各个误差互不相关，相关系数21()qiiia0ij合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差一、标准差的合成3-32二、极限误差合成单项极限误差单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差i合成标准差t合成极限误差的置信系数由标准差合成公式：qiqjijijiijiiaaa1122)(qitiii,,2,1it