误差理论与数据处理-第三章-误差的合成与分配

合肥工业大学误差理论与数据处理第3章误差的合成与分配合肥工业大学误差理论与数据处理教学目标本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量方案的确定等问题。通过本章的学习，读者应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以及误差的合成和分配。合肥工业大学误差理论与数据处理重点和难点函数系统误差函数随机误差函数误差分布的模拟计算随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配微小误差取舍准则最佳测量方案的确定合肥工业大学误差理论与数据处理间接测量函数误差间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型12(,,...,)nyfxxx与被测量有函数关系的各个直接测量值y间接测量值12,,,nxxx求上述函数y的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211合肥工业大学误差理论与数据处理和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式y1212...nnfffyxxxxxx为各个输入量在该测量点处的误差传播系数(1,2,,)ifxin12(,,,)nxxxixyifxixyifx第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理几种简单函数的系统误差1、线性函数1122...nnyaxaxax1122...nnyaxaxax12...nyxxx1ia2、三角函数形式12sin,,...,nfxxx11cosniiifxx12cos,,...,nfxxx11sinniiifxx系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型24lDhhD2lh不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值50mmh500mml201300mm4lDhh第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理车间工人测量弓高h、弦长l的系统误差5050.10.1mmh5004991mml直径的系统误差:7.4mmffDlhlh50052250fllh222250011244450flhh故修正后的测量结果:013007.41292.6mmDDD计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型12(,,...,)nyfxxx变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式1122(,,,)nnyyfxxxxxx121212(,,...,)nnnfffyyfxxxxxxxxx得到1212nnfffyxxxxxx即：可得：合肥工业大学误差理论与数据处理2222222121122nyxxxnijijnijfffffDxxxxx2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx函数标准差计算或第i个直接测得量的标准差xiix第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数ij第i个测量值和第j个测量值之间的协方差ijijxixjD第i个直接测得量对间接量在该测量点处的误差传播系数ifxixy12(,,,)nxxx第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理22222221212yxxxnnfffxxx2222221212yxxxnnfffxxx或0ijijD相互独立的函数标准差计算若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项iifax令2222221122yxxnxnaaa第一节函数误差则当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式2222221122yxxnxnaaa第i个直接测得量的极限误差xiix合肥工业大学误差理论与数据处理三角形式的函数随机误差公式2222222121cos1xnnxxxfxfxf1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：第一节函数误差nxxxf,,,sin212）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cos21三角函数标准差计算3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,,,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf合肥工业大学误差理论与数据处理【解】【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长s=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差h=-1mm。试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。已知：，0.005mmh0.01mml2222222224()()50.01240.00516910mmDlhfflh0.13mmD有修正后的测量结果01292.6mmDDD0.13mmD第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数对函数误差的影响2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式ij当相关系数时当相关系数时2、相关系数估计第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理相关系数的确定可判断的情形0ij断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量ixjx与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关ixjx1、直接判断法第一节函数误差合肥工业大学误差理论与数据处理可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关ixjx1ij1ij第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法（1）观察法合肥工业大学误差理论与数据处理第一节函数误差（2）简单计算法nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n10（3）直接计算法22()()(,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxxxxxxx根据的多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数(,)ijxx,ikjkxx、分别为、的算术平均值ixjxikxjkx（4）理论计算法合肥工业大学误差理论与数据处理第二节随机误差的合成任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响随机误差的合成形式包括：合肥工业大学误差理论与数据处理一、标准差合成合成标准差表达式:211()2qqiiijijijiijaaaq个单项随机误差，标准差12,,,q误差传播系数12,,,qaaa由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和iiiyaiaiiiafx第二节随机误差的合成合肥工业大学误差理论与数据处理当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数21()qiiia21qii0ij1ia则合成标准差用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量合肥工业大学误差理论与数据处理二、极限误差合成单项极限误差:1,2,...,iiikiq单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:kiik合成标准差合成极限误差的置信系数k第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式211()2qqjiiiijijiijiijakaakkk合肥工业大学误差理论与数据处理根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关ikk对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：合肥工业大学误差理论与数据处理211()2qqiiijijijiijaaa21qii0ij1ia当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布12qkkkk合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时合肥工业大学误差理论与数据处理第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：合成方法：按照代数和法进行合成riiiai为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消