电磁学-典型例题及习题。

电磁学-典型例题和习题安徽工业大学.应用物理系.莫绪涛2013.01复习方法：1.作业题全部弄懂——杜绝眼高手低现象；2.总结归纳知识点–自己不熟悉的知识–类比电、磁中的重要结论，并记住1、E的计算——微积分法：2、写出各点电荷（元）单独存在时3、分别写出x、y、z方向上的分量。4、按分量迭加(积分)。统一积分变量确定积分上下限5、合成、确定方向。()iEdE微积分法求电场强度的步骤标量方法求解充分考虑对称性降低运算难度1、建立合适的坐标系1.建立坐标，并做图（三维的二维化）——直观不易出错2.进行适当的微元划分——充分利用已有的结论3.写出相应计算量的微元表达式；4.进行对称性分析、如果为矢量积分，还要进行分解——对称性分析时，在解题中进行表述5.进行自变量的替换、确定积分上下限——复习高等数学常用定积分公式及解题步骤6.计算过程，写出正确完整的结果——矢量一定要写上方向，标量要有正负问题；——计算的重要步骤一定要保留——计算一定要细心，尤其是数值解的正确性球壳:均匀带电球壳的（或Q）及R1、R2E0rR2R1220R4QE1212310220Rr0RrR)rRr(3Rrr4QrOR2R12、E的计算——Gauss定理求解法：用高斯定理求解电场强度的步骤1.分析待求E的大小和方向规律（对称性分析）2.选取合适的Gauss面①通过待求场点②Gauss面的构造E大小相等，和ds方向相同的面(Φe=ES)E为零的曲面或平面(对应Φe=0)E和ds方向垂直的曲面或平面(对应Φe=0)3.求解Gauss定理左右两侧结果4.结果表示：E大小和方向使容易计算SSEd适用对象：有球、轴、平面对称的某些电荷分布。应用高斯定理求场强：1：长为l、线电荷密度为l的两根相同的细塑料棒如图放置，相距l。求：两棒之间的静电相互作用力。Oxl2lldxx思路：1、求左棒在右棒处各点的场强：2、右棒x’处电荷元受的电场力：xd)x1lx1(4ExddF02llldx’x’)11(4)(40020lxlxxxdxEllOxl2lldxxldx’x’3、右棒受的总电场力：344114023202ln)(llxdxlxFll方向：x方向。xd)x1lx1(4ExddF02ll练习：如图所示已知：.aL',,,ll求：AB所受无限长带电直线的力?FolBAlaLax根据已知的场强分布，按定义计算由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算PPldEu电势计算的三种方法：rdqduu04前提：无穷远处为电势零点利用已知电势结果+电势叠加原理ld例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R,q,σ解:方法一叠加法(微元法)任一圆环RdRdSsin2dRdSdqsin22ldRldqdusin2414200ldq08sindrRldlsin22rRqdldu08cos2222RrrRl由图RrRrrqrRqdlu0048RrRrrRrRRqrRqdlu0048ORPr方法二定义法RrRr由高斯定理求出场强分布RrRrE204rq0PldEu由定义RrRldEldEuRdrrq2040Rq04rdrrqu204rq04ORPruu∝1/r课堂练习：求等量异号的同心带电球面的电势差已知+q、-q、RA、RBARBRqq解:由高斯定理ARrBRr204rqBARrRE0由电势差定义BAABuuuBARRBABARRqdrrqldE)11(44020思考：内、外球面上的电势分别是多少？利用已知电势结果加电势叠加原理例1：求均匀带电圆盘中心轴线上一点的电势例2:半径均为R的两个球体相交,球心距离o1o2=d，不重叠部分均匀带电，电荷体密度左侧为，右侧为。求距离o2为r的P点的电势。－＋＋Ｏ1Ｏ2－Pr提示:将相交部分看成带电荷。＋提示：将圆盘看成许多圆环组成rrdRrRrdRUP113434434030303＝5、真空中有一均匀带电球面,半径为R,总电量为Q(Q0),今在球面上挖去一很小面积ΔS,设其余部分的电荷仍均匀分布,求挖去后球心处的电场强度和电势解RQΔS2R4QSq40220164RSQRqERSQRqQU0044例4：点电荷q处于A点，若以B作为电势零点。求C点的电势。ABCqr1r2解题思路：两点之间的电势差与电势零点的选取无关。点）（选无穷远处为电势零ｒ４ｑ－＋ｒｒ４ｑ＝点为电势零点）选１２１B(000CCBUU例1．利用场强与电势梯度的关系，计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。22041)(xRqxuu解:)41(220xRqxxuEx23220)(41xRqx0zyEEiEExixRqx23220)(41①求单位正电荷沿odc移至c，电场力所作的功②将单位负电荷由O电场力所作的功)(coocuuqARq060)(oOuuqA电场力做功计算：如图已知+q、-q、RqqRRRodabc)434(000RqRq例：如图：在一个接地的导体球附近有一个点电荷q。求导体球表面上感应电荷电量Q。ORqLR4QL4qV0000解：接地:导体的电势为零。地的电势和无限远的电势都为零要求：导体离地的距离远大于导体本身的线度。AB例5.已知R1R2R3qQqOq1R2R3RQq求①电荷及场强分布；球心的电势②如用导线连接A、B，再作计算解:由高斯定理得电荷分布qqQq场强分布204rqQ204rqE01Rr32RrR21RrR3Rr球心的电势AOBqq1R2R3RQq场强分布204rqQE0204rq1Rr32RrR21RrR3Rr00213231RRRRRRoEdrEdrEdrEdrrdEu3021041114RQq)RR(q球壳外表面带电②用导线连接A、B，再作计算AO1R2R3RQqBqq3rR333004RRoRqQEdrEdru3rR204rqQErrQqEdru04Qq0E连接A、B，中和q)(qqq例：如图,球形电容器的内外半径分别R1和R2,所带电荷为+Q、-Q,在两球壳间充以电容率为的电介质,问此电容器存储的电场能量为多少?24rQE球壳内电场能量密度：解:球壳间场强:42223221rQEeR2R1rdr取体积元：dV=4r2dr电场的能量:1221221222421)11(8821RRRRQRRQrdrQdVWRRee球形电容器：C=4R1R2/(R2-R1)方法二、We=Q2/2C例题1.C1和C2两空气电容器并联以后接电源充电．电源保持联接，在C1中插入一电介质板，如图所示,则(A)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷减少．(B)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷增加．(C)C1极板上电荷增加，C2极板上电荷不变．(D)C1极板上电荷减少，C2极板上电荷不变.√C1C2ε思路电源保持联接，电压U不变。插入电介质板，C1变大。Q=C1U，Q必定变大。例题5.面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为(A)(B)(C)(D)Sq02Sq0222022Sq202Sq√例10：1、如图：一不带电的金属球旁（距o点为r）有一点电荷+q。求金属球上的感应电荷在球心产生的及球心处的总电势Vo。E2、若将金属球接地，球上的净电荷为多少？解：1、0EEEqo感0204rrqEEq感++++----OrR+q2、金属球接地，0V球0R4qr4qV00感球qrRq感r4qV00（感应电荷无贡献）例1：载流长直导线的磁场02sin4IdldBr根据B-S定律:解:02sin4CDIdzBdBr方向：C1七、毕奥—萨伐尔定律的应用★★★2DIPzyxOIdlzroar∵所有dB方向相同sin/,aractgzdl=dz=ad/sin221sin40daIB)cos(cos4210aIB是与的夹角。zIdor注：C1dB2DIPzyxOzarIdzaIB20特例：无限长直导线:半无限长直导线：(端垂面上))cos(cos4210aIBaIB40在延长线上:0B2I1Pa例2:载流圆线圈在其轴上的磁场.204rrlIdBdoadBxdBdB解:20rIdl4dBxyzIPxO02coscos4xxlIdlBBdBdBr只有沿x轴的分量：IdlrojrdBB2030203303042()2sin2RIRBdlrIRrIRRrIRjdlyzxxOjPreradBxdBdBIB的方向：沿Ox轴方向。20223/22()RIRx圆电流圆心的场强：RIB20xR3202xIRB2300223/2sin22()IIRBRRxj或写为3m030xP2xSI2B一段圆弧在圆心处的磁感应强度：圆周长弧长R2IB0讨论：练习求圆心O点的B如图，RIB40oIRRIB80IORRIRIB2400ORIOIR32)(RIRIB231600例3：载流螺旋管在其轴上的磁场.设单位长度的匝数n在轴上任取场点O,在x处截取dx段螺旋管,内含ndx个圆电流,则它们在O处产生的磁场：解:)()(22/32220ndxxRIRdB方向：沿Ox轴正向RlxdxOxxx1x2Ob1bb2x21xx2/32220)xR(dxR2IndBB由图：)cos(cos2csccsc21203323021bbbbbbbInRdRInB－bRctgxbbdcscRdx2xx1x2Ob1bb2x关于运流电流产生的磁场-----一种重要的情形等效电流2eeIReRIB4200+-R例如果均匀带电薄圆盘旋转(σ),求圆心处的B？;2d2drrIrIB2dd0RRrrrB000212dR圆心处：等效于一个圆电流产生的磁场！解电荷在不导电的空间，如真空或极稀薄气体中的有规则运动所形成的电流。利用安培环路定理解题步骤1、分析磁感应强度B的特点–方向特点：要分析待研究磁场B的方向–大小特点：B大小相等的点形成的轨迹2、根据分析得到的B的特点选择积分路径，并人为设定积分路径的方向；3、计算安培环路定理的左右两侧，注意右侧电流代数和的计算；4、B数值的计算和表述，以及B方向的说明。解：rIB20IrBBdlldBll021、对于圆柱体外点P，rR，IRrIPB例3：无限长载流圆柱体的磁场。ilIrBldB02若电流密度是均匀的，有2RIj通过截面积r2的电流是:2、对于圆柱体内点P，rR，222RIrrj2202RIrrBldBl20R2IrBOrRPB