第五章-多元函数积分学

第五章一元函数定积分学(分割;近似;作和;取极限方法)多元函数积分学二重积分曲线积分曲面积分多元函数积分学扩展重点研究:二重积分三重积分第五章多元函数积分学5.1二重积分概念和性质5.2二重积分计算5.3二重积分简单应用解法:用定积分思想解决此问题:5.1.1二重积分的概念例1曲顶柱体的体积曲顶柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割;近似代替;求和,取极限”D机动目录上页下页返回结束D1)“分割”用任意曲线网分D为n个区域n,,,21以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“近似代替”在每个3)“求和”nkkkkf1),(),(kkf),,2,1(),(nkfVkkkk则中任取一点小曲顶柱体k),(kk机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令)(max1knkdnkkkkfV10),(lim),(kkfk),(kk机动目录上页下页返回结束是指一个闭区域上任)(kd意两点间距离的最大者.例2非均匀平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则CM若非均匀,仍可用其面密“分割,近似代替,求和,求极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域,,,,21n相应把薄片也分为小区域.D机动目录上页下页返回结束yx2)“近似代替”中任取一点k在每个),,(kk3)“求和”nkkkk1),(4)“取极限”)(max1knkd令nkkkkM10),(limk),(kk则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束yx两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求两个问题结构形式相同“分割,近似代替,求和,取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束定义:),(yxf设将D任意分成n个小区域任取一点可积,),(yxf则称),(yxf上式记为在D上的二重积分.称为积分变量yx,和式极限积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上连续函数,机动目录上页下页返回结束作乘积并作和n个小闭域最大直径,和式极限存在DyxfVd),(曲顶柱体体积可写成:DyxMd),(平面薄板的质量可写成:如果在D上可积,),(yxf也常,ddyx二重积分记作.dd),(Dyxyxf这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(机动目录上页下页返回结束二重积分注意的问题:(1)在D上总是可积.在有界闭区域D上连续,则机动目录上页下页返回结束DDdudvvufdxdyyxf).(),((2)二重积分与积分变量无关与被函数和积分区域有关,(3)几何上二重积分等于D上各部分区域上的柱体体积的代数和.(4)用二重积分的方法可扩展三重积分,即:iiiniiufdxdydzzyxf)(),,(10lim5.1.2二重积分的性质Dyxfkd),(.1(k为常数)21d),(d),(d),(.3DDDyxfyxfyxfDDdd1为D的面积,则Dyxfkd),(机动目录上页下页返回结束特别,由于),(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(则Dyxfd),(Dyxd),(5.若在D上),(yxf,),(yxDyxfd),(6.设D的面积为,MyxfmDd),(则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)),(),(fdyxfD在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使连续,机动目录上页下页返回结束5.2二重积分的计算二重积分的计算的思想:把二重积分计算转化成两个定积分的计算,二重积分计算问题就解决了.分别讨论直角坐标系下和极坐标系下的二重积分的计算.xbad][5.2.1、在直角坐标系下二重积分的计算设曲顶柱体积分区域D为X型区域bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baniiixxAxxAd)()(10lim截柱体的)(2xy)(1xyzxyoabixD机动目录上页下页返回结束ydcxo)(2yx)(1yxyydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱体积分区域D为Y型区域则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21机动目录上页下页返回结束总结利用直角坐标下二重积分计算bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyd则机动目录上页下页返回结束矩形积分区域既是X–型又是Y–型区域:dcbabadcDdydxyxfdxdyyxfdxdyyxf]),([]),([),(0abxdcy例3计算dxdyyxD)341(11,22:,yxDy-22x1-1解:矩形区域既是X–型区域又是Y–型区域,先对哪个变量积分都可以.dxdyyxD)341(dyyxdx)341(2211dxyyx11222]6)41[(8]42[)41(222222xxdxx例4计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则机动目录上页下页返回结束另一解法:先对y后对x积分,Dyxd机动目录上页下页返回结束xyxxD,10:1xyxxD2,41:22Dxy22xy214oyx1D1dDyx2dDyx10412xxxxxydydxxydydx两种解法相当交换积分顺序,即型相互转化型与yXDD例5.计算,dd2Dxyxe其中D是直线所围成的闭区域.oxyD11xxy解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:100:xxyDDxyxedd2xy0d10d2xxex)11(21e10d2xex先对x积分不行,说明:由被积函数考虑交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例6更换下列积分I的次序31)3(210100),(),(2xxdyyxfdxdyyxfdxI2xy)3(21xy01231DyydxyxfdydxdyyxfI1023),(),()3(210,31:2xyxD210,10:xyxDxI型区域的转化成y型区域10,23:yyxyD转化成y型区域10,23:yyxyDxyokkr2)(21忽略高阶无穷小5.2.2在极坐标下二重积分的计算在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积k),,2,1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(krkrkkkr机动目录上页下页返回结束Dyxfd),(ddrr所以Drrf)sin,cos(drrddrd机动目录上页下页返回结束)20,0(sin,cosrryrx又因为)sin,cos(),(rrfyxfDo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD机动目录上页下页返回结束若f≡1则可求得D的面积d)(21202Dd思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)22)2(机动目录上页下页返回结束Dd例8计算二重积分yyx222其中D为圆周所围成的闭区域.sin2rDrdrdr原式drdrrsin2003sin2020]3[d解:利用极坐标:Dsin20r0机动目录上页下页返回结束例9.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.机动目录上页下页返回结束利用例9可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式2d02xex利用例9的结果,得①故①式成立.机动目录上页下页返回结束事实上,当D中,面为时xoyDa二、空间立体的体积一.平面图形的面积二、平面薄板的重心*三、物体的转动惯量*机动目录上页下页返回结束5.3二重积分的简单应用5.3.1几何上的应用5.3.2物理及力学上的应用一.平面薄板的质量积所围成的平面图形的面224,xyxy一.平面图形的面积例10求抛物线)2,2(2xy24xy)2,2(解Dxxdydxdxdy2042222316)24(2202dxxD-X型区蜮Ddxdx若f≡1则可求得D的面积Ddxdx若f≡1则可求得D的面积若f≡1则可求得D的面积Ddxdx若f≡1则可求得D的面积Ddxdx若f≡1则可求得D的面积Ddxdx若f≡1则可求得D的面积积所围成的平面图形的面224,xyxy例10求抛物线积所围成的平面图形的面224,xyxy例10求抛物线积所围成的平面图形的面224,xyxy例10求抛物线例11.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022机动目录上页下页返回结束二、空间立体的体积5.3.2物理及力学上的应用一.平面薄板的量解积分区域看成D-X区域xyxD10,10:10210222)()(dyyxdxdxdyyxMxD61]3)1([33102dxxxxO1xxy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yxy1xy1xy1yx