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第1页，共16页2020年浙江省嘉兴市、丽水市、衢州市高考数学模拟试卷（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.集合的真子集的个数是（）A.B.C.D.2.双曲线的渐近线方程是（）A.2x±y=0B.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=03.若实数满足不等式组则的最小值等于A.B.C.D.4.已知函数满足，设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数的图象可能是（）A.B.C.D.6.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（）A.12B.11C.10D.97.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ-101P则当p在内增大时，（）第2页，共16页A.E（ξ）减小，D（ξ）减小B.E（ξ）减小，D（ξ）增大C.E（ξ）增大，D（ξ）减小D.E（ξ）增大，D（ξ）增大8.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，，点E，O分别是线段C1C，BC的中点，，分别记二面角F-OB1-E，F-OE-B1，F-EB1-O的平面角为α，β，γ，则下列结论正确的是（）A.γ＞β＞αB.α＞β＞γC.α＞γ＞βD.γ＞α＞β9.已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值（）A.B.C.D.510.记递增数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，a9=9，且对{an}中的任意两项ai与aj（1≤i＜j≤9），其和ai+aj，或其积aiaj，或其商仍是该数列中的项，则（）A.a5＞3，S9＜36B.a5＞3，S9＞36C.a6＞3，S9＞36D.a6＞3，S9＜36二、填空题（本大题共7小题，共38.0分）11.设i为虚数单位，给定复数，则z的虚部为______，|z|=______．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______，表面积是______．13.已知a，b，c分别为△ABC的三边，若a=6，b=7，c=8，则cosC=______，△ABC的外接圆半径等于______．14.如图，将一个边长为1的正三角形分成4个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的3个小正三角形，分别再从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上的做法，得到的集合为希尔宾斯基三角形．设An是前n次挖去的小三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是前2次挖去的4个小三角形面积之和），则A2=______，An=______．第3页，共16页15.若（2x+1）6=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a6（x+1）6，则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=______．16.某市公租房源位于、、三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子，申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意位申请人中，恰好有人申请小区房源的概率是．（用数字作答）17.如图，椭圆的离心率为e，F是Γ的右焦点，点P是Γ上第一象限内任意一点，，，若λ＜e，则e的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）18.已知函数．（Ⅰ）求f（2019π）的值；（Ⅱ）若f（α）=1，且0＜α＜π，求cosα的值．19.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点E，F分别是线段DC，BC的中点，分别将△DAE沿AE折起，△CEF沿EF折起，使得D，C重合于点G，连结AF．（Ⅰ）求证：平面GEF⊥平面GAF；（Ⅱ）求直线GF与平面GAE所成角的正弦值．第4页，共16页20.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）在an和an+1之间插入n个实数，使得这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．21.已知三点P，Q，A在抛物线Γ：x2=4y上．（Ⅰ）当点A的坐标为（2，1）时，若直线PQ过点T（-2，4），求此时直线AP与直线AQ的斜率之积；（Ⅱ）当AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|时，求△APQ面积的最小值．第5页，共16页22.已知函数f（x）=x2e3x（Ⅰ）若x＜0，求证：f（x）＜（Ⅱ）若x＞0，恒有f（x）≥（k+3）x+2lnx+1，求实数k的取值范围第6页，共16页--------答案与解析--------1.答案：C解析：解：因为集合{2，0，1，9}有4个元素，{2，0，1，9}的真子集个数为：．故选：C．集合{2，0，1，9}有4个元素，从而得出该集合的真子集个数．考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，组合知识的运用．2.答案：B解析：【分析】本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐进方程．属于基础题．渐近线方程是-y2=0，整理后就得到双曲线的渐近线．【解答】解：双曲线其渐近线方程是-y2=0整理得x±2y=0．故选：B．3.答案：A解析：【分析】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值首先画出可行域，利用几何意义求值.首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【解答】解：作出实数x，y满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）第7页，共16页由得A（1，1），由z=3x+y得y=-3x+z，平移y=-3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以zmin=3×1+1=4．故选A.4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，涉及函数的概念，属基础题．作为函数，对于定义域内x的每一个值，有且只有一个y的值与之对应，但是可以有不同的x对应于同一个y．【解答】解：若x0=4，则f（x0）=f（4）=17，即y0=17成立，作为函数，对于定义域内x的每一个值，有且只有一个y的值与之对应，但是可以有不同的x对应于同一个y．比如f（x）=|x|+1，则由f（x0）=y0=17，得x0=±4，∴“y0=17”是“x0=4”的必要不充分条件，故选：B．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系，根据函数零点判断函数的正负是解决本题的关键．判断函数f（x）的奇偶性，结合图象的对称性以及函数在x轴右侧的函数零点判断函数的正负进行判断即可【解答】解：f（-x）=ln（-x+）cos（-2x）=lncos2x=-ln（x+）cos2x=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，令得或,所以x轴右侧的零点为，在上取，则，排除C，故选：D．6.答案：B解析：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，第8页，共16页∴ω•（-）+φ=kπ，且ω•+φ=k′π+，k、k′∈Z，∴ω=2（k′-k）+1，即ω为奇数①．∵f（x）在（，）单调，∴≥-，∴ω≤12②．由①②可得ω的最大值为11．当ω=11时，由x=为y=f（x）图象的对称轴，可得11×+φ=kπ+，k∈Z，故有φ=-，ω•（-）+φ=kπ，满足x=-为f（x）的零点，同时也满足满足f（x）在（，）单调，故ω=11为ω的最大值，故选：B．由题意可得ω•（-）+φ=kπ，且ω•+φ=k′π+，故有ω=2（k′-k）+1①，再根据≥-，求得ω≤12②，由①②可得ω的最大值，检验ω的这个值满足条件．本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题．E（ξ）=（-1）×+=，D（ξ），判断其在内的单调性即可．【解答】解：根据题意E（ξ）=（-1）×+=-在p∈内递增，D（ξ）=.是以为对称轴，开口向下的抛物线，在上单调递减，故选C．8.答案：D解析：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则F（1，0，），O（，，0），E（0，0，），B1（1，1，），，，，，，第9页，共16页设平面OB1E的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），同理可求平面OB1F的法向量，平面OEF的法向量，平面EFB1的法向量．∴，，．∴γ＞α＞β．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.答案：A解析：解：根据题意设=（1，0），=（0，1），对应的点C在单位圆上，（+2）2-（2+）2=32-32=0，所以|+2|=|2+|，|2+|+|3+2-|表示C点到点（-2，0）和（3，2）的距离之和，过点（-2，0）和（3，2）的直线为2x-5y+4=0，原点到直线2x-5y+4=0的距离为=＜1，所以与单位圆相交，所以|2+|+|3+2-|的最小值为点（-2，0）和（3，2）之间的距离，即．故选：A．，所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量．|+2|=2|+|，由阿波罗尼斯圆的性质，可以转化为|+2|=|2+|．本题考察平面向量的坐标运算，用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论、解析几何中直线与圆的位置关系，综合性很强，属于中档题．10.答案：D解析：解：∵ai+aj，或其积aiaj，或其商仍是该数列中的项，∴a2+a9或者a2a9或者是该数列中的项，第10页，共16页又∵数列{an}是递增数列，∴a1＜a2＜a3＜…＜a9，∴a2+a9＞a9，a2a9＞a9，只有是该数列中的项，同理可以得到，，..，也是该数列中的项，且有a1＜＜＜…＜＜a9，∴，∴a5=3或a5=-3（舍），∴a6＞3，根据a1=1，a5=3，a9=9，同理易得a2=，a3=，a4=，a6=，a7=，a8=，∴S9=a1+a2+…+a9=＜36，故选：D．由题意可得，从而得到a5=3，再由a5=3就可以得出其它各项的值，进而判断出S9的范围．本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．11.答案：2解析：解：∵=，∴z的虚部为2，|z|==．故答案为：2，．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：144-12π168+6π解析：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，其表面积S=2×6×6+4×4×4-9π+×6π×5=168+6π，几何体的体积为：=144-12π．故答案为：144-12π；168+6π．由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体，利用公式求解即可．本题考查的知识点是由三视图求表面积，根据已知中的三视图分析出几何体的形状，是解答的关键．13.答案：解析：解：∵a=6，b=7，c=8，∴cosC===．第11页，共16页∴sinC==，∴设△ABC的外接圆半径R，由正弦定理可得2R==，解得△ABC的外接圆半径R=．故答案为：，．由已知利用余弦定理可求cosC的值，根据同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而根据正弦定理即可计算得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.答案：=．解析：解：由题意，可知：原等边三角形的面积A==．∴A1=A=．∴A2=A1+3••A1==．由题意，可知：每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形．第一次挖去的三角形是原等边三角形的，第一次只挖去1个三角形；第二次挖去的三角形是原等边三角形的•，第一次只挖去3个三角形；第三次挖去的三角形是原等边三角形的（）3，第一次只挖去32个三角形；•••∴第n次挖去的三角形是原等边三角形的（）n，第一次只挖去3n-1个三角形；∴An-An-1=3n-1•（）n•A=3n-1•（）n•=，（n≥2