五邑大学-甘俊英-信号与系统-课后习题-答案

1-1．绘出下列各信号的波形。（1）[u(t)−u(t−T)]sin(（3）(2−e)u(t)；解：−t4πt)；T（2）[u(t)−2u(t−T)+u(t−2T)]sin(（4）ecos(10πt)[u(t−1)−u(t−2)]−t4πt)T（1）[u(t)−u(t−T)]sin(4πt)T（2）[u(t)−2u(t−T)+u(t−2T)]sin(4πt)T（3）(2−e)u(t)；−t（4）ecos(10πt)[u(t−1)−u(t−2)]−t1-2．应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。（1）（3）（5）（7）∫∫∞−∞∞f(t−t0)δ(t)dt（2）∫∞−∞∞f(t0−t)δ(t)dt−∞δ(t−t0)u(t−t0)dt2（4）（6）∫−∞∞δ(t−t0)u(t−2t0)dt(t+sint)δ(t−2∫∫∫∞−∞∞(e−t+t)δ(t+2)dt∫π6−∞)dt−∞∞e−jωt[δ(t)−δ(t−t0)]dt(t+cosπt)δ(t−1)dt（8）∫(3t2−1∞0−+1)(t)dtδ−3kt（9）−∞（10）∫∑ek=−∞∞δ(t−k)dt解：（1）f(−t0)（2）f(t0)⎧1t00⎪1⎪（3）u(t0)=⎨t0=02⎪⎪0t00⎩⎧1t00⎪1⎪（4）u(−t0)=⎨t0=02⎪⎪0t00⎩（7）1−ejwt0（5）e2−2（6）π6+12（8）1（9）0（10）∑e−3kk=0∞21-3．已知f(t)的波形如题图1-12所示，试画出下列函数的波形图。（2）f(t/3)u(3−t)（1）f(3t)df(t)（3）dt（4）∫t−∞f(τ)dτf(t)1013t解：（1）f(3t)（2）f(t/3)u(3−t)（3）df(t)dt（4）∫t−∞f(τ)dτ1-4．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？（1）y(t)=x(t)u(t)（4）y(t)=（2）y(t)=x(2t)（3）y(t)=x(t)2∫t−∞x(z)dz（5）y(t)=x(t−2)+x(2−t)（6）y(t)=[cos(3t)]x(t)（7）y(t)=⎨0,t00,x(t)0⎧（8）y(t)=⎨（9）x(t)+x(t−2),t≥0x(t)+x(t−2),x(t)≥0⎩⎩⎧y(t)=xt(3)（2）线性，时变，非因果。（4）线性，时不变，因果。（6）线性，时变，因果。（8）非线性，时不变，因果。解：（1）线性，时变，因果。（3）非线性，时不变，因果。（5）线性，时变，非因果。（7）线性，时不变，因果。（9）线性，时变，因果。1-5．有一LTI系统，当激励x1(t)=u(t)时，响应y1(t)=6e−αtu(t),试求当激励x2(t)=3tu(t)+2δ(t)时，响应y2(t)的表示式。（假定起始时刻系统无储能。。）解：t⋅u(t)=du(t)，该系统为LTI系统。∫−∞dxt6故在t⋅u(t)激励下的响应y1(t)=∫6⋅e−αtu(t)dt=−(e−αt−1)2tu(t)dt，δ(t)=−∞αd(6e−αtu(t))=−6αe−αtu(t)+6δ(t)dx1818−αt在3tu(t)+2δ(t)激励下的响应y(t)=−e−12αe−αtu(t)+12δ(t)。2在δ(t)激励下的响应y2(t)=αα7-1已知电路如题图7-1所示，选择合适的状态变量，列写状态方程和输出方程。()yt(c)()Svt1H1F()its221R1L2Rba()itL解：（c）对a点应用KCL定理，得LRSiiti1)(①对1RLC回路应用KVL定理，有1ddLRCiVLVt②对2sCRV回路应用KVL定理，有2)(RSCVtVV③对b点应用KCL定理，有22RViiRLC④选择CLVi21,式①乘以1R，有LRSiRVtiR111)(则111)(tiRVSR代入式②中，有1112d()dSRitLt由式④得2221d()dRVRCt代入式③，得2221d()()dSVtRCt整理上两式，11112d1()dSRRittLLL21222d111()dSVttCRCRC并写成矩阵形式，系统状态方程为11112222121d0()d111()d0d()2120()10.500.5SSSSRRitLLLtVtCRCRCtitVt系统的输出方程为1112()()()()1010()SRLSSSitytiiititVt。7-2试写出下列微分方程所描述的系统的状态方程和输出方程。（2）5''()4'()()6()ytytytxt；解：设1()yt，2d()dytt，则有12由5''()4'()()6()ytytytxt，得146''()()'()()555ytytytxt所以212146()555xt故系统状态方程为1122010()146555xt系统输出方程为112()10yt。7-3已知系统的系统函数如下，分别画出其直接形式、并联形式、串联形式的信号流图并根据信号流图列写状态方程和输出方程。（1）3255()710sHssss；解：（a）直接形式233225555()7107101sssHssssss信号流图为()Xs1101s7521s1s513()Ys题图（a）（b）并联形式325115555632710(2)(5)(2)(5)115111263111(12)(15)ssHsssssssssssssss()Ys()Xs13211s111s1s12561352题图6-5（b）（c）串联形式321555555125710(2)(5)11ssssHssssssssss()Xs()Ys11s111s5255211s3题图6-5（c）（2）根据以上三种不同的信号流图，可分别写出其状态方程和输出方程。（a）对于直接形式)(1072333221tx写成矩阵形式，系统状态方程为11223301000010()01071xt系统输出方程为2155)(ty（b）对于并联形式)(5)(2)(33221txtxtx写成矩阵形式，系统状态方程为11223300010201()0051xt系统输出方程为112323151151()263263yt（c）对于串联形式)(253322211tx写成矩阵形式，系统状态方程为11223351000210()0001xt系统输出方程为21121520)5(55)(ty7-4已知系统的信号流图如题图7-4所示，（1）试求其系统函数；（2）以积分器的输出为状态变量，列写对应信号流图的状态方程和输出方程。()Xs()Ys1221121s1s1321s3(a)解：（1）信号流图有3个环，各环的增益分别用123,,LLL表示。11Ls，222Ls，33Ls，其中3L与1L，2L两两不相交。计算特征式123132322231231323()112561sLLLLLLLssssssssss前向通路有两条，分别设其增益为1P，2P。132Ps，1P通路与三个环都有接触，所以1()1s；24Ps，2P通路与12,LL两个环都有接触，所以233()11sLs；由Mason公式，可得系统函数为23112232232431()()4122()256()2561PsPssssssHssssssss（2）以积分器的输出为状态变量，分别得状态变量123,,，如图（a）所示。根据信号流图，有122333222()xt写成矩阵形式，系统状态方程为11223301000010()0212xt根据信号流图，可写出输出方程为11323()()()2()102()()tyttttt7-6已知矩阵A为（2）2120A；解：（2）利用拉氏变换法1222222222222221(2)21112(1)1(1)1(1)1111(1)1(1)1(1)1tssesssssssssssAIAL求其逆拉氏变换，得cossin2sinsincossinttttttteteteteetetetA7-8已知系统的状态方程与输出方程分别为112212()()101()13()0()()1()1()()2ttettttytett初始状态12(0)12(0)，激励()()etut，求状态变量和响应。解：1013Α，10B，112C，1D1111001101()[]111113122(1)(3)3133ssssssssssssIA1330()[()]()1()2ttttetsuteeeL状态变量为1133()()(0)[()()]1001111L11120()1222133ttttttssesseeesssBELλλ13111L11231(3)()2613tttesseesss33311()111(15)(23)(3)362ttttttteeuteeeee又1011112()()11111023122133sHssssssCBD所以响应向量为11333333()()(0)[()()]1011121L122(3)()21115(5)(12)()2266ttttttttytCtHsEsessseeeeeeeutLλ