2012中考数学一轮复习课件 专题十九等腰三角形

信心源自于努力结合近几年中考试题分析，对等腰三角形的内容考查主要有以下特点：1.命题方式为对等腰三角形的性质、判定及三角形全等、线段垂直平分线进行综合考查，题型以解答题为主；2.命题的热点为等边三角形的性质的综合运用.1.在复习过程中一定要重视基础知识的理解与掌握，明确每个定理的推导过程和应用范围，练习时注意挖掘图形中特殊的角和相等的边，学会从复杂的图形中分离出基本图形；2.加强顶角为30°，36°，45°，60°等特殊角的等腰三角形有关知识的训练；3.重视等腰三角形“三线合一”性质的运用；4.在复习过程中，要对等腰三角形中证明线段相等或角相等的常用方法进行总结，归纳出三角形中常见的添加辅助线的规律.等腰三角形的性质与判定1.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它除了具有一般三角形的性质以外还有以下特殊的性质：等腰三角形的两条边相等；等腰三角形的“三线合一”即顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；2.等腰三角形的判定是指在同一三角形中相等的边所对的角相等,简称等边对等角；当三角形一边上的中线和高及顶角的角平分线相互重合时,此三角形为等腰三角形，“三线合一”性质的逆用是判定等腰三角形的主要方法，因此在判定时要注意运用；3.等腰三角形的有关性质和判定常与全等三角形甚至与一元二次方程的有关知识结合考查.【例1】(2011·德州中考)如图,AB=AC,CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证:AD=AE；(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系,并说明理由.【思路点拨】【自主解答】(1)在△ACD与△ABE中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AC=AB，∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)OA⊥BC.在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA=OA，AD=AE，∴Rt△AOD≌Rt△AOE，∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分线，又∵AB=AC，∴OA⊥BC.1.(2010·宁波中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()(A)5个(B)4个(C)3个(D)2个【解析】选A.因为AB=AC，∠A=36°，所以∠ABC=∠ACB=72°，由BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，可得∠ABD=∠CBD=∠BCE=∠ACE=36°，所以△ABC、△BCD、△ABD、△BCE、△DCE都为等腰三角形.2.(2011·济宁中考)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是()(A)15cm(B)16cm(C)17cm(D)16cm或17cm【解析】选D.若以5cm为腰长，则此三角形的周长为5+5+6=16(cm)；若以6cm为腰长，则此三角形的周长为6+6+5=17(cm).3.(2011·舟山中考)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=40°，则△ABC的外角∠BCD=_____度.【解析】由AB=AC,∠A=40°，得∠ACB=∠ABC=70°,所以∠BCD=180°-70°=110°.答案：1104.(2010·东阳中考)如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=_____度.【解析】根据题意，△BDF是以D为顶点的等腰三角形，因此∠BDF=180°-50°×2=80°.答案：80等边三角形的性质与判定等边三角形顾名思义其三边都相等，因为其三边之间有了这种特殊的相等关系，因此它的三个角也相等，根据三角形的内角和可得每个内角都为60°；等边三角形是特殊的等腰三角形，因此它不仅具有等腰三角形的一切性质，而且还具有一般等腰三角形不具备的特殊性质，即等边三角形的三边中线、高以及三个内角平分线的交点重合，且此点到等边三角形的三个顶点的距离相等、到三边的距离相等、到顶点的距离是到对边中点的距离的2倍；等边三角形的判定多是在等腰三角形的基础上进行的.【例2】(2011·日照中考)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.(1)求证：DE平分∠BDC;(2)若点M在DE上，且DC=DM,求证：ME=BD.【思路点拨】【自主解答】(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°,∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,∴BD=AD,∴△BDC≌△ADC,∴∠DCB=∠DCA=45°.∵∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°,∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°,∴∠BDE=∠EDC,∴DE平分∠BDC.(2)如图，连接MC，∵DC=DM,且∠MDC=60°,∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°,∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°,∴∠EMC=∠ADC.又∵CE=CA,∴∠CEM=∠DAC=15°,∴△EMC≌△ADC,∴ME=AD=BD.5.(2010·临邑中考)如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.过点D作DF⊥CE于点F，在Rt△BDF中，DF=，BF=6，所以BD=.323334323436.(2010·茂名中考)如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E、F分别是边AB、AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是()(A)15米(B)20米(C)25米(D)30米【解析】选C.因为点E、F分别是边AB、AC的中点，所以BC＝2EF，又因为EF＝5米，所以BC＝10米，因为三角形ABC是等边三角形，所以BE=CF＝5米，所以篱笆的长为25米.7.(2010·铜仁中考)如图，小红作出了边长为1的第1个正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面积……，由此可得，第8个正△A8B8C8的面积是()(A)(B)(C)(D)【解析】选C.因为△A1B1C1的边长为1，所以△A1B1C1的面积为，又因为点A2，B2，C2分别是△A1B1C1各边的中点，所以△A2B2C2的面积为，同理，△A3B3C3的面积为，依此类推，△A8B8C8的面积为731()42831()42731()44831()44343144231()44731().448.(2009·烟台中考)如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为()(A)(B)(C)(D)32231234【解析】选B.因为∠APD＝60°，所以∠PDC=60°+∠PAD，又因为∠BPA＝60°+∠PAD，所以∠PDC=∠BPA，又因为∠B＝∠C，所以△ABP∽△PCD，所以,所以BPAB3CDPC22CD.3线段的垂直平分线的性质的应用线段的垂直平分线上的点具有到线段的两端点的距离相等的性质，其实就是线段的对称轴，因此经常用来证明线段、角相等和作为构造等腰三角形、等腰梯形等几何图案的关键,并常用作设计等距离的实际问题的辅助线.【例3】(2010·烟台中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于()(A)80°(B)70°(C)60°(D)50°【思路点拨】【自主解答】选C.因为AB=AC，∠A=20°，所以∠ABC=(180°-∠A)=80°，因为DE垂直平分AB，所以∠ABE=∠A=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.129.(2010·义乌中考)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为()(A)6(B)5(C)4(D)3【解析】选B.因为线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，所以PB=PA=5.10.(2011·绍兴中考)如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN,交BC于点D，连结AD.若△ADC的周长为10,AB=7，则△ABC的周长为()(A)7(B)14(C)17(D)20【解析】选C.由中垂线的性质可知AD=BD,∴△ABC的周长为:AB+AC+CD+BD=17.1AB211.(2011·盐城中考)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点.若DE=5，则AB的长为_____.【解析】∵AD⊥DC，AE=CE，∴∴AC=10.又∵AB=AC，∴AB=10.答案：101DEAC2，12.(2011·株洲中考)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC.(1)求∠ECD的度数；(2)若CE=5，求BC长.【解析】(1)方法一：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°.方法二：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=90°.又∵DE=DE，∴△ADE≌△CDE，∴∠ECD=∠A=36°.(2)方法一：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°.由(1)知∠ECD=36°,∴∠BCE=∠ACB-∠ECD=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴BC=EC=5.方法二：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5.等腰三角形中分类讨论思想的应用对于等腰三角形中的边、角的有关计算与证明，往往运用到数学的分类讨论思想:涉及到等腰三角形的边时，首先看某边是腰还是底，并且在求出了三边的长之后，还要验证是否满足三角形的三边关系；等腰三角形的顶角可以为锐角、直角、钝角，而其底角只能为锐角，在没有指明等腰三角形的顶角还是底角时，应注意分类讨论，以免漏解.【例】(2010·楚雄中考)已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是()(A)55°，55°(B)70°，40°(C)55°，55°或70°，40°(D)以上都不对【思路点拨】【自主解答】选C.当70°的角是顶角时，另两个内角都是(180°-70°)÷2=55°.当70°的角是底角时，则另两个角中的底角是70°，顶角是180°-70°-70°=40°.因此选C.(2010·广安中考)等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是()(A)17(B)17或22(C)20(D)22【解析】选D.当等腰三角形的腰长为4，底边长为9时，因为4＋4＜9，所以此等腰三角形不存在；所以此等腰三角形的腰长为9，底边长为4，因此它的周长是22.1.(2010·东阳中考)已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为()(A)40°(B)100°(C)40°或100°(D)70°或50°【解析】选C.40°若是底角，则顶角为180°-40°×2=100°；40°为顶角.2.(2009·云南中考)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为()(A)13(B)14(C)15(D)16【解析】选A.∵△ABC的周长等于21，又∵BC等于5，且AB=AC，∴AC=8，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴BE=AE，∴BE+EC=AE+EC=AC=8,∴△BEC的周长=BE+EC+BC=8+5=13.3.(2010·无锡中考)如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____°.【解析】因为DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，所以∠ACE=30°，又因为∠ACB=80°，所以∠BCE=50°.答案：5