2012中考数学复习课件：第34讲 锐角三角函数及解直角三角形

第34锐角三角函数及解直角三角形考点知识精讲中考典型精析举一反三考点训练考点一在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba，或者根据sinA＝∠A的对边斜边，cosA＝∠A的邻边斜边，tanA＝∠A的对边∠A的邻边，cotA＝∠A的邻边∠A的对边.考点二特殊角的三角函数值锐角三角函数定义用计算器求一个锐角的三角函数值或由三角函数值求锐角1．求已知锐角的三角函数值方法：将角度单位状态设定为“度”(屏幕显示D)，按所求函数的书写顺序去按键．2．由锐角三角函数值求锐角在屏幕显示D状态下，按“SHIFT”键再按相应函数及数值．考点四1．解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有．．未知元素的过程，叫做解直角三角形．(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素即3条边和2个锐角)2．直角三角形的边角关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba，sinB＝bc，cosB＝ac，tanB＝ba，cotB＝ab.考点三解直角三角形(1)(2010·哈尔滨)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为()A．7sin35°B.7cos35°C．7cos35°D．7tan35°(2)(2010·黄冈)在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝45，则tanB＝________.()A.43B.34C.35D.45(3)(2010·江西)计算：sin30°·cos30°－tan30°＝________(结果保留根号)．【点拨】本组题主要考查锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值．【解答】(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝BCAB，∴BC＝AB·cosB＝7cos35°，故选C.(2)∵sinA＝45，∴BCAB＝45，于是设BC＝4a，AB＝5a.在Rt△ABC中，由勾股定理，可得AC＝3a.∴tanB＝ACBC＝3a4a＝34.故选B.(3)原式＝12×32－33＝－312.(1)(2009·福州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：①用签字笔．．．画AD∥BC(D为格点)，连结CD；②线段CD的长为________；③请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是________．④若E为BC中点，则tan∠CAE的值是________．(2)(2009·株州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE＝6，cosA＝35.求①DE、CD的长；②tan∠DBC的值．【点拨】解直角三角形的关键在于灵活地选择正确的关系式，选择的标准是关系式中既包括已知量又包括未知量．【解答】(1)①如图②5③∠CAD55(或∠ADC，255)④12(2)解：①∵DE⊥A，∴∠DEA＝90°.在Rt△AED中，cosA＝AEAD，即6AD＝35，∴AD＝10.根据勾股定理得DE＝AD2－AE2＝102－62＝8.又∵DE⊥AB，DC⊥BC，BD平分∠ABC，∴DC＝DE＝8.②∵AC＝AD＋DC＝10＋8＝18，在Rt△ABC中，cosA＝ACAB，即18AB＝35，∴AB＝30.根据勾股定理得BC＝AB2－AC2＝302－182＝24.∴在Rt△BCD中，tan∠DBC＝DCBC＝824＝13.1．在Rt△ABC中，各边的长都扩大了3倍，那么锐角A的正弦值(C)A．扩大了3倍B．缩小了3倍C．没有变化D．不能确定2．计算tan60°＋2sin45°－2cos30°的结果是(C)A．2B.3C.2D．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝34，则AC的长是6.(第3题)(第4题)4．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是22.5．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于12.考点训练34锐角三角函数及解直角三角形训练时间：60分钟分值：100分锐角三角函数及解直角三角形训练时间：60分钟分值：100分一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2009中考变式题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是()A．sinA＝32B．tanA＝12C．cosB＝32D．tanB＝3【解析】在Rt△ABC中，∵AB＝2，BC＝1，∴AC＝3，∴tanB＝ACBC＝31＝3.【答案】D2．(2010·山西)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值()A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变【解析】在直角三角形中，∠A的正弦是∠A的对边与斜边的比值，当∠A固定时，其正弦值也是一个固定值，所以当直角三角形各边都扩大2倍时，其比值不变，故选择D.【答案】D3．(2011中考预测题)在Rt△ABC中，已知sinA＝32，则锐角A的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°【解析】∵sinA＝32，而sin60°＝32，∴∠A＝60°.【答案】C4．(2009中考变式题)如果一个直角三角形的两条边分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值()A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个【解析】x可以是直角边，也可以是斜边，∴x可以有2个．【答案】B5．(2009中考预测题)正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为()A.55B.255C.12D．2【解析】观察图形，cos∠AOB＝15＝55.【答案】A6．(2011中考预测题)在△ABC中，若|sinA－22|＋(32－cosB)2＝0，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数是()A．70°B．90°C．105°D．120°【解析】由题意得sinA＝22＝0，32－cosB＝0，解得sinA＝22，cosB＝32.∴∠A＝45°，∠B＝30°，∴∠C＝105°.【答案】C7．(2009中考变式题)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝3，则AC的长为()A．3cos40°B．sin40°C.3cos40°D.3sin40°【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ACAB，∴AC＝AB·cosA＝3cos40°.【答案】A8．(2011中考预测题)若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，则它的面积为()A．2cm2B.3cm2C.32cm2D．23cm2【解析】易求得菱形的高为32，∴S菱形＝1×32＝32cm2.【答案】C9．(2009中考变式题)如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝32，AC＝23，则AB的长是()A．3＋3B．2＋23C．5D.92【解析】过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝23，∠A＝30°，∴CD＝3，AD＝3.∵tanB＝32，∴CDBD＝32，∴3BD＝32，∴BD＝2，∴AB＝BD＋AD＝5.【答案】C10．(2011中考预测题)如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为()A．3B.163C.203D.165【解析】∵cosα＝35，∴sinα＝45.由题意求得∠ADE＝∠DCE.在Rt△DCE中，sin∠DCE＝DEDC＝DE4＝45，∴DE＝165，在Rt△ADE中，cosα＝DEAD，即165AD＝35，∴AD＝163.【答案】B11.(2011中考预测题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连结CD.若⊙O的半径r＝32，AC＝2，则cosB的值是()A.32B.53C.52D.23【解析】∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，AD＝3.又AC＝2，∴cosD＝DCAD＝32－223＝53.在⊙O中，cosB＝cosD＝53.【答案】B12.(2011中考预测题)如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥DB，如果PC＝6，那么PD等于()A．4B．3C．2D．1【解析】过点P作PE⊥OA于点E.∵OP平分∠AOB，PD⊥DB，∴PE＝PD.在Rt△PCE中，∠ACP＝∠AOB＝30°，PC＝6，∴PD＝PE＝12PC＝3.【答案】B二、填空题(每小题4分，共24分)13．(2010·烟台)12－2sin60°＋(π－1)0＝________.【解析】原式＝23－2×32＋1＝23－3＋1＝3＋1.【答案】3＋1【解析】∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAD＝90°，∴∠B＝∠CAD.在Rt△DAC中，cos∠CAD＝ADAC，∴AC＝ADcos∠CAD＝ADcosB＝445＝5.14．(2010·广东)如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝45，则AC＝________.【答案】515．(2010·荆州)如图，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝35，AC＝5a，则△ABC的面积用含a的式子表示是________．【解析】作BC边上的高线AD.∵cosC＝35，∴CD＝3a.由勾股定理得AD＝4a.∵∠B＝45°，∴AD＝DB＝4a，∴BC＝7a，∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×7a×4a＝14a2.【答案】14a216．(2010·襄樊)在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝________.【解析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．【答案】43－3或43＋317.(2011中考预测题)如图，在△ABC中∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝43，那么AD＝________.【解析】在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝43，∴AC＝23.又AD平分∠CAB，∠CAB＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，cos30°＝ACAD，∴AD＝2332＝4.【答案】418．(2010·湛江)因为cos30°＝32，cos210°＝－32，所以cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－32；因为cos45°＝22，cos225°＝－22，所以cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－22；猜想：一般地，当α为锐角时，有cos(180°＋α)＝－cosα.由此可知cos240°的值等于________．【解析】cos240°＝cos(180°＋60°)＝－cos60°＝－12.【答案】－12三、解答题(共28分)19．(12分)(2009中考变式题)(1)sin60°－3tan30°＋2cos45°；(2)cos60°＋22sin45°＋tan30°·cos30°；(3)sin60°·cos60°＋sin45°·cos45°－sin30°·cos30°；(4)已知tanA＝3.2078，利用计算器求锐角A.(精确到1′)解：(1)原式＝32－3×33＋2×22＝32－3＋2＝2－32.(2)原式＝12＋22×22＋33×32＝12＋12＋12＝32.(3)原式＝32×12＋22×22－32×12＝34＋12－34＝12.(4)∠A≈72°41′20．(8分)(2011中考预测题)请你画出一个以BC为底边的等腰△ABC，使底边上的高AD＝BC.(1)求tanB和sinB的值；(2)在你所画的等腰三角形△ABC中，假设．．底边BC＝5米，求腰上的高BE.解：如图，正确画出图形．(1)∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，∴BD＝12BC＝12AD，即AD＝2BD.∴AB＝BD2＋AD2＝5BD.tanB＝ADBD＝2，sinB＝ADAB＝255.(2)作BE⊥AC于点E.在Rt△BEC