6天津大学计算机控制系统――第9.3课计算机控制系统状态空间设计方法

计算机控制系统状态空间设计第九章主讲人：宗群教授计算机控制系统现代设计方法本章主要内容•9.1离散系统状态空间分析–9.1.1线性离散系统状态方程–9.1.2连续状态方程的离散化–9.1.3计算机控制系统的闭环离散状态方程–9.1.4离散系统的传递函数矩阵与特征值–9.1.5离散状态方程的求解–9.1.6线性离散系统的稳定性、可控性和可观性•9.2离散系统状态空间设计–9.2.1极点配置–9.2.2状态观测器9.2离散系统状态空间设计主要内容•离散控制系统状态空间设计概念•离散控制系统状态反馈律设计•极点配置•状态观测器9.2离散系统状态空间设计9.2.1离散控制系统状态空间设计（概述）以控制系统状态空间模型（即状态空间表达式）为基础，可处理多输入多输出（即多变量）系统、时变系统和非线性系统。与传统的基于传递函数模型设计的区别是，状态空间设计的着眼点是系统的内部特性和系统状态的行为；它的控制策略是通过状态反馈控制状态行为来实现控制目标。简单地说，它的设计任务就是确定控制目标和求解可实现控制目标的状态反馈控制律。系统状态在一般情况下是不能全部测量的，需利用系统状态空间模型建立状态观测器，从而由系统输入量和输出量确定状态。按控制目标不同，状态空间设计可分两类：极点配置设计法、基于控制性能二次型指标的最优化设计。9.2离散系统状态空间设计9.2.2离散控制系统状态反馈律设计（一般描述）闭环系统的极点分布与系统的控制性能之间有着密切的关系，极点配置设计法已成为控制系统设计的一类基本方法。基于系统Z传递函数模型的极点配置是通过设计输出反馈控制器实现闭环极点的任意配置。基于离散状态空间模型的极点配置是通过设计状态反馈控制器实现闭环极点的任意配置。可以证明，用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要条件是被控系统是能控的（即状态完全能控）；若系统不能控，用状态反馈无法实现闭环极点的任意配置。9.2离散系统状态空间设计9.2.2离散控制系统状态反馈律设计（一般描述）)()()1(kBukAXkX+=+图9.9离散控制系统状态反馈结构9.2离散系统状态空间设计)()(kLXku−=)()()1(kXBLAkX−=+)det(BLAzI+−nnnnpzpzzzzzP+++=−−−=−1121)())(()(λλλ)()det(zPBLAzI=+−9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置极点配置的充要条件它的状态表达变式为：因此可以通过选择K使得的特征值是期望的闭环极点：。(1)()()xkGHKxk+=−GHK−12,,,nµµµ充要条件：当控制信号为标量时，采用状态反馈，任意极点可配置的充要条件是系统状态完全能控。（证明略）如果系统是完全状态能控的，那么一旦期望特征方程选定了，就有很多方法来确定系统的状态反馈增益矩阵K。下面给出四种方法。9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置极点配置方法四种极点配置方法方法一：K可通过下式计算求得•其中为原始系统特征方程的系数•为状态反馈系统的期望状态特征方程系数[][]1111111111()nnnnnnnnKaaaTaaaMWαααααα−−−−−−=−−−=−−−ia1110nnnnzIGzazaza−−−=+++=1110nnnnzIGHKzzzααα−−−+=+++=iα9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置TMW=1nMHGHGH−=1212311101001000nnnnaaaaaWa−−−−=为系统的能控性矩阵9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置方法二：Ackermann’sformula其中与方法一中定义的一样，为状态反馈系统的期望状态特征方程系数方法三：如果期望特征值各不相同，那么期望状态反馈增益矩阵可通过下式求得：()110001()nKHGHGHGφ−−=111()nnnnGGGGIφααα−−=++++iα12,,,nµµµ()[]112111nKξξξ−=9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置其中：向量满足方程：注：可证明为矩阵的特征向量，即：iξ1()iiGIHξµ−=−GHK−iξ1,2,,in=对于最少拍响应，有这种情况下可简化为：其中：证明略12,,,0nµµµ…=()[]112100nKξξξ−=1212nnGHGHGHξξξ−−−==…=，，，()iiiGHKξµξ−=1,2,,in=9.2离散系统状态空间设计9.2.3极点配置方法四：如果系统的阶数较小，则令代入特征方程再由期望特征方程根据两式z的不同幂次的系数相同的原则可以得到K。！这种K的直接计算对于低维系统是很简单的。[]12nKkkk=0zIGHK−+=1110nnnnzzzααα−−+++=9.2离散系统状态空间设计例题考虑系统其中:选择合适的状态反馈增益矩阵使得系统拥有闭环极点，解：首先看能控矩阵的秩：例题考虑系统其中:选择合适的状态反馈增益矩阵使得系统拥有闭环极点，解：首先看能控矩阵的秩：(1)()()xkGxkHuk+=+010.161G=−−0.50.5zj=+0.50.5zj=−01H=[]01rankrank211HGH==−9.2离散系统状态空间设计因此系统状态完全能控，可任意配置极点。注意到原系统特征方程为：因此得，又期望系统的特征方程是：因此得，121,0.16aa==121,0.5αα=−=210.160.161zzIGzzz−−==+++2(0.50.5)(0.50.5)0.50zIGHKzjzjzz−+=−−−+=−+=9.2离散系统状态空间设计下面分别用四种方法进行求解方法一取注意到原系统已经是能控标准型了，因此转换矩阵T变成单位阵I因此，[]12211KaaTαα−=−−[]1101111010111001aTMWHGH====−[][]()()1221122110.50.16110.342KaaTaaαααα−=−−=−−=−−−=−010.161G=−−01H=9.2离散系统状态空间设计方法二：Ackermann’sformula其中：()[]101()KHGHGφ−=2212()0.50.161010.500.160.840.16100.50.3420.322.34GGGIGGIφαα=++=−+−−=−+−−−=()[][][]1101()010.342010.34-2110.322.34KHGHGφ−−=−==−所以：9.2离散系统状态空间设计方法三：方法三：()[]11211Kξξ−=1()1,2iiGIHiξµ−=−=其中：对于：10.50.5jµ=+()111[0.50.5]10.50.5100.660.161.50.510.50.50.66GjIHjjjjjξ−−=−+−−−+==−−−−−+9.2离散系统状态空间设计[]()()11120.71781111.43560.660.6610.6610.660.50.50.50.50.717811.43560.660.6610.6610.66jjjjjjjjjjjjξξ−−−−−−+−++==−−−+−++−−+−+因此有：于是：()[][]()()[]1120.717811.435610.6610.6611110.34-20.717811.435610.6610.66jjjKjjjξξ−−−++===−+−+−+9.2离散系统状态空间设计方法四：将直接带入期望特征方程2(0.50.5)(0.50.5)0.50zIGHKzjzjzz−+=−−−+=−+=又期望特征方程：对应项系数相等：21110.160.5kk+=−+=[][]120.342Kkk==−[]12Kkk=设：[]12Kkk=！这种K的直接计算对于低维系统是很简单的。[]()1222112001000.16-11110.1600.161zzIGHKkkzzzkzkkzk−+=−+−−==++++=+++9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器两个内容：1设计状态观测器的充要条件2全维状态观测器的设计9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器概念状态观测器，也叫状态估计器，是控制系统中的一个子系统，该子系统基于对输出和输入变量的测量产生渐近于系统的状态矢量，从而完成状态变量的估计。设计状态观测器的充要条件xStateobserver()yk()uk()xk状态观测器示意图9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器设计状态观测器的充要条件1ZI−HG(1)xk+()xk()uk+++CK−Stateobserver()yk()uk()yk()xk带有观测器的系统框图9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器其状态空间表达为：(1)()()xkGxkHuk+=+设计状态观测器的充要条件是：即系统状态完全能观时。*代表转置()()ykCxk=****1*()nrankCGCGCn−=设计状态观测器充要条件的证明：（*）9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器全维状态观测器设计当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时的状态观测器称为全维状态观测器。1ZI−HG(1)xk+()xk()uk+++CK−()yk假设如上状态反馈控制系统状态完全能观但状态x(k)不可以直接测量，则加入状态观测器后的系统框图为：9.2离散系统状态空间设计1ZI−HG()xk()uk+++CK−()yk1ZI−HG()uk++C++−++++()yk()xkeK加入状态观测器后的系统框图9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器由前图可知：为观测器反馈增益矩阵，上式还可写为：的特征值通常称为观测器极点。()()ykCxk=[](1)()()()()exkGxkHukKykyk+=++−eK(1)()()()()eexkGKCxkHukKyk+=−++eGKC−即为全维状态观测器9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器全维状态观测器的误差动态特性：由前两式可得：令：则有：[](1)(1)()()()exkxkGKCxkxk+−+=−−()()()ekxkxk=−(1)()()eekGKCek+=−eGKC−()ek(0)x()xk(0)eeGKC−()ek(0)x()xk(1)()()xkGxkHuk+=+(1)()()()()eexkGKCxkHukKyk+=−++的特性要由的特征值来决定，如果矩阵稳定，将从初始状态收敛到零，也就是说，不管和的值如何，都将收敛于9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器设计全维状态观测器例题：考虑系统：其中：设计一个全维状态观测器，观测器矩阵的期望特征值为：期望特征多项式：(1)()()xkGxkHuk+=+()()ykCxk=00.1611G−=−01H=()01C=10.50.5zj=+20.50.5zj=−2(0.50.5)(0.50.5)0.50zjzjzz−−−+=−+=9.2离散系统状态空间设计9.2.4状态观测器解：状态观测器的设计也就是决定合适的观测器反馈增益矩阵。系统完全能观，可以设计全维状态观测器。观测器的特征方程为：令：eK***01()211rankCGCrank==−0ezIGKC−+=12ekKk=因为：则有：()11220.161000.16010110111kzkzkzk+−