(新课程)高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》课件1 新人教A版必修5

第1课时一元二次不等式的解法3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系自学导引1．2．Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象2Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0ax2＋bx＋c＝0(a0)的根有两相异实根x1，x2有两相等实根x0＝－b2a___________ax2＋bx＋c0(a0)的解集__________________x|x≠－b2aRax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}__∅没有实数根{x|xx1或∅xx2}：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a≠0)具备哪些条件时，解集为R或∅？提示：当a0，Δ0时，解集为R.当a0，Δ≤0时，解集为∅.解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c0(a0)，或ax2＋bx＋c0(a0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当mn时，若(x－m)(x－n)0，则可得xn或xm；若(x－m)(x－n)0，则可得mxn.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．名师点睛1．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：二根(Δ0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1＝x2，x1x2.2．题型一一元二次不等式的解法求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x6.[思路探索]先将二次项系数化为正，再求对应方程的根．并根据情况结合二次函数图象，写出解集．解(1)由x2－5x6，得x2－5x－60.∴x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6.∴原不等式的解集为{x|x－1或x6}．(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0，【例1】(3)由－x2＋7x6，得x2－7x＋60，而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6.∴不等式x2－7x＋60的解集为{x|1x6}．方程(2x－1)2＝0的根为x＝12.∴4x2－4x＋1≤0的解集为xx＝12.当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象．解下列不等式(1)2x2－x＋60；(3)(5－x)(x＋1)≥0.解(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×60，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点．∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为x2－6x＋100，∵Δ＝62－40＝－40，∴原不等式的解集为∅.(3)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．(2)－12x2＋3x－50；【变式1】解关于x的不等式(a∈R)：(1)2x2＋ax＋20；(2)ax2－(a＋1)x＋10.[思路探索](1)对相应方程的判别式进行讨论，按照一元二次不等式的解法求解；(2)先对不等式中二次项的参数讨论，再按照不等式的求法求解．解(1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ0，即－4a4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为题型二解含参数的一元二次不等式【例2】x1＝14(－a－a2－16)，x2＝14(－a＋a2－16)．当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当a4或a－4时，原不等式的解集为xx14－a－a2－16，或x14－a＋a2－16；当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋10，解得x1.若a0，则原不等式等价于x－1a(x－1)0，解得x1a，或x1.若a0，原不等式等价于x－1a(x－1)0.①当a＝1时，1a＝1，解x－1a(x－1)0得，解集为Ø；②当a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1ax1；③当0a1时，1a1，解x－1a(x－1)0得1x1a.综上所述：当a0，解集为xx1a，或x1；当a＝0时，解集为{x|x1}；当0a1时，解集为x1x1a；当a＝1时，解集为∅；当a1时，解集为x1ax1.含参数不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数化为正数；(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根据根的情况写出相应的解集．(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋40.解(i)当a＝0时，原不等式可化为－2x＋40，解得x2，所以原不等式的解集为{x|x2}．【变式2】(ii)当a0时，原不等式可化为(ax－2)(x－2)0，对应方程的两个根为x1＝2a，x2＝2.①当0a1时，2a2，所以原不等式的解集为xx2a，或x2；②当a＝1时，2a＝2，所以原不等式的解集为{x|x≠2}；③当a1时，2a2，所以原不等式的解集为xx2，或x2a.(iii)当a0时，原不等式可化为(－ax＋2)(x－2)0，对应方程的两个根为x1＝2a，x2＝2，则2a2，所以原不等式的解集为x2ax2.已知关于x的不等式x2＋ax＋b0的解集为(1,2)，试求关于x的不等式bx2＋ax＋10的解集．审题指导可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，故由根与系数的关系可求出a，b的值，从而得解．题型三三个“二次”间对应关系的应用【例3】[规范解答]由根与系数的关系，可得－a＝1＋2，b＝1×2，即a＝－3，b＝2，(6分)∴不等式bx2＋ax＋10，就是2x2－3x＋10.由于2x2－3x＋10⇔(2x－1)(x－1)0⇔x12或x1.(10分)∴bx2＋ax＋10的解集为－∞，12∪(1，＋∞)．(12分)【题后反思】求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)的解集，可由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系，先求出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集．因此一元二次不等式解集的区间端点，就是其对应的函数的零点，也就是其对应的方程的根．已知不等式ax2－bx＋20的解集为{x|1x2}，求a，b的值．解法一由题设条件知a0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．【变式3】由根与系数的关系，知1＋2＝ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝3.法二把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得a－b＋2＝0，4a－2b＋2＝0.解得a＝1，b＝3.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，求实数a的取值范围．误区警示忽略二次项系数为零而出错【示例】[错解]不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，∴a－20，Δ0⇔a2，4a－22－4a－2－40.⇔－2a2.当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．[正解]当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时成立．当a－2≠0时，由题意得即解得－2a2.综上所述可知：－2a≤2.二次项系数含参数时，要严格分系数为正，系数为0，系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，只要题目没有明确说明不等式是一元二次不等式，就必须讨论这种情况．