第五章功率谱估计-第3节

第三节谱估计的参数化模型方法一、周期图法的优缺点利用FFT计算计算效率高的优点谱分辨率要求不高的地方常用此方法估计方差大，频率分辨率低(1/N)为了克服以上缺点，人们提出了平均、加窗平滑等方法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。经典方法始终无法解决频率分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录很短的情况下，这一矛盾显得尤为突出。由于具有有理功率谱密度的随机信号都可看成由一白噪声w(n)激励一物理网络所形成。根据已观察到的数据估计出这一物理的模型参数。可克服经典谱估计的缺点。由这个模型来求功率谱估计，可望得比较好的结果。二、现代谱估计的引入()wn设白噪声经一线性系统形成的。如图所示。其传递函数为：()()()BzHzAz()wn()xn-0-0()()()qkkkpkkkbzBzHzAzaz2()xxwPw当输入白噪声的功率谱密度时2222()()()()jwjwxxwwjwBePwHeAe输出功率谱密度为：2(0),(0)wkkakpbkq如果能确定与值，通过上式就可得到所需信号的功率谱密度。三、功率谱估计的步骤用模型法求功率谱估计可分为三个步骤：1（）选择合适的信号模型2()kkxnab（）根据有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数和3（）计算模型输出功率谱。看出：要解决的是模型的参数估计问题。四、信道模型种类-0-0()()()qkkkpkkkbzBzHzAzaz线性系统为：001,11AR2MA3ARMAab假设，分为三种情况：（）模型（）模型（）模型（1）AR模型01(0kbbkq外所有的）均为零。-111()()1pkkkHzAzaz此时系统函数为：1()-(-)()pkkxnaxnkwn其差分方程为：信号流图如图所示。)pARAutoregressive该模型为阶自回归模型或简称（模型。其系统函数只有极点，没有零点，因此也称为全极点模型。1-a2-a-qa()xn()wn-1z-1z-1zAR模型输出功率谱为2222-1()()1wwxxjwpjwkkkPwAeae2()wkaxn只要我们能求得及所有值，就可以得到随机信号的功率谱。（2）MA模型-1()()1qkkkHzBzbz01(1)kaakp除外的所有均为零。系统的差分方程为：系统函数为：0()(-)qkkxnbwnk1b2bqb()xn()wn-1z-1z-1z信号流图如图所示。()qMAMovingAverage该模型称为阶滑动平均模型，简称为　模型。其系统函数只有零点没有极点，因此也称为全零点模型。MA模型的输出功率谱为：2222-1()()1pjwjwkxxwwkkPwBebe2wkb只要我们能求得与所有的参数值，就可求得随机信号的功率谱。（3）ARMA模型0011,kkabab设和其余所有的和不全为零。系统的差分方程为：-0-0()()()qkkkpkkkbzBzHzAzaz传递函数为：10()-(-)(-)pqkkkkxnaxnkbwnk(,)ARMApqARMA是一个零极点模型，称为模型，或直接简称模型。2222()()()()jwjwxxwwjwBePwHeAe其输出功率谱为：1-a2-a-qa()xn()wn-1z-1z-1z1b2bqb例子22()()()-(1)()()(0,)()-(1)()()()(0,)1()()()xnynxnxnwnynNynynxnununNynunyn令和是满足下列差分方程的平稳随机过程：－－式中，且和不相关，求的功率谱。解：22-()()(1-)()(-)-(-1-)(-)(-)()-(-1)(-)-(-1-)()()(-)(-)()()()()xjwxnPweynynynxnunEynynynynExnunxnunwnunxnun计算的功率谱，得：取的延迟形式：于是有：注意和不相关，所以与也不相关。222()-(-1)(-)-(-1-)()(-)-(-1)(-)-()(-1-)+(-1)(-1-)=()(-)()(-)1()-(-1)(1)()yyyxEynynynynEynynEynynEynynEynynExnxnEununRRRR展开上式后，得即2-2222222-1()-()()1()=()1-2cosw1=1-2cosw(1-)jwjwyyxyxjwPweePwPwPwPwe进行付里叶变换：从而得：例21.25cos()1.06250.5cos()().wPwwHzHz一随机信号的功率谱密度为：若将这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果、最小相位系统的输出的功率谱，求该线性系统解：----0.50.5()0.250.25,0.50.5()0.250.25jwjwjwjwjwjwjwjwjwjwzeeePweezeeePweew已知功率谱可以改写为：令则式右的多项式有四种可能的分解：12-1-1-134-110.50.5(),(),0.250.250.50.5(),()0.250.25()()-0.25(-1)()0.5(-1)zzHzHzzzzzHzHzzzHzynynxnxn在这四种线性系统中，只有线性系统的零、极点全部在单位圆内，是一个因果的、最小相位系统。其差分方程为：五、模型选择模型的选择问题是现代谱估计的重要问题。如果选择不合适或是不准确将直接影响谱估计分辨率以及谱的保真度。选择模型的依据是根据信号的一些先验知识。模型的选择原则：主要考虑模型能够表示谱峰、谱谷和滚降的能力。ARARMA对于具有尖峰的谱，应该选用具有极点的模型。　　　　如和模型。MA对于具有平坦的谱峰和深谷的信号，可以选用模型。ARMA对于既有极点也有零点的谱应选用模型。ARMA相对而言，模型适用范围较宽。AR对于滚降太快的谱，没有一种模型可以准确地表示功率谱。可以选用高阶的模型近似表示。　　选择模型的另一个考虑：尽量减少模型参数。这与选择模型是否合适有关系。结论：应在选择模型合适的基础上，尽量减少模型的参数。一般情况下我们没有随机信号模型的先验知识，若模型选择不当是否会对谱估计性能产生较大影响？如果功率谱是连续的，则任何ARMA过程或AR过程可用一个无限阶的MA过程表示。Word分解定理告之：任何ARMA过程或MA过程也可以用一个无限阶的AR过程表示。Kolmogorov也提出：结论：如果选择了一个不合适的模型，但只要模型的阶数足够高，它仍能够较好地逼近被建模的随机过程。六、应用AR模型用得最普遍原因是:(1)AR模型的参数计算是线性方程，比较简便。(2)适合窄带信号的频估计。(3)谱估计时由于具有递推特性所需的数据较短。而MA模型对窄带信号进行谱估计时，一般需要数量很多的参数。ARMA模型所需的参数数量最少，但参数估计的算法是非线性方程组，其运算远比AR模型复杂。实际信号中一般含有和信号不相关的噪声ARARMAAR如果信号是模型，则需要用模型；如果用模对这一类带有噪型，则需要阶数声的信号，更高。　例子：MA选用模型去估计具有尖峰的功率谱，估计效果会很差。abcMAAR如下图、、是用模型估计二阶信号功率谱。ARMA看出：图中信号谱峰较平坦，用二阶模型功率谱拟合真实谱时，差别较大，随着阶数的提高，估计的谱愈来愈近似于真实的谱。d,e,fARMA如下图中信号谱峰很窄，看用模型估计情况。MAMA10结论：信号的谱峰很窄，用信号模型拟合时，直到模型阶数提高到阶，其效果仍很差。